三年级下册数学试题：奥数精讲练：找几何图形的规律含答案全国通用

第五讲第五讲 找几何图形的规律找几何图形的规律 找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严 密的逻辑推理能力.为培养这方面的能力，本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析应从哪 些方面来观察思考。因此，学习本讲的知识有助于养成全面地、由浅入深、由简到繁观察 思考问题的良好习惯，可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问题的方法。 下面就来看几个例子。 例例1 1 按顺序观察图51与图52中图形的变化， 想一想， 按图形的变化规律，在带“”的空格 处应画什么样的图形 分析 观察中，注意到图51中每行三角形的个数依次减 少， 而正方 形的个数依次增多，且三角形的个数按4、 3、 X、 1的顺序变化.显然X 应等于2；图52中黑点的个数从左到右逐次增多，且每一格（第一格除 外）比前面的一格多两个点.事实上，本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上，是一种较为基 本的、简单的变化模式。 解在图51的“”处应是三角形△，在图52的“”处应是 例例2 2 请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。 分析 首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成 的；其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形 中，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特点是 ① 仅由圆、三角形、正方形组成； ② 各行 各列 中， 都只 有一 个圆、 一个三 角形 和一 个正 方形 。因此 ，根据不 重不 漏的 原则 ，在第 二行 的空 格中应 填一 个三 角形 ，而 第三 行的空 格中 应填 一个 正方 形。 解略。 例例3 3 按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“”处填上合适的图形. 分析 显然，图（ a）、图 （b）中都是圆，而图（ c）中却不是圆；同时，图（ a）、（c）中都有3 个图形，而（ b）中只有两个.由此可知图（ a）到 （b）的变化规律对应于图（ c） 到（d）的变 化规律.再注意到图（a）到图（ b）中图形在繁 简、多少、位置几方面的变化，就容易得到图（d）中的图形了。 解在上图的“”处应填如下图形. 例例4 4 下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“”处填上适当的图形. 分析 本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是由正 方形、 三角形和圆形组成，图中的任意两个图形均不相同.因此， 我们不妨试着把大、 小图形分 开来考虑， 再一次观察后我们可以发现对于大图形来说， 每行每列的图形决不重复。因此， 每 行每列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆， 对于小图形也是如此， 这样， “”处的 图形就不难得出。 解图中，（b）、（f）、（h）处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙. 小结对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，从 而把复杂问题简单化。 例例5 5 观察下列各组图的变化规律，并在“”处画出相关的图形. 分析 我们先来看这样两个图 （甲）图与（乙）图中，点A、B、C、D 的顺序和距离都没有改变，只是每个点的位置发生了 变化，如甲图中， A 在左方；而乙图中， A 在上方，我们把这样一种位置的变化称为图 形的旋转，乙图可以看作是甲图 当我们从左到右来观察图（d）、（e）的变化规律时，我们发现，图（ d）、（ e）的变化规 律有与图（a）、（ b）相同的一面，即都是把一个图形变为自身的一半，但也有与图（ a）、 （b）不同的一面，即图（ d）、 （e）中右半部分的图形无法通过旋转原图来得到，只能通过 上下翻转而获得.这样，我们就得到了这些图形的变化规律。 解图（c）中“”处的图形应是下面甲图，图（f）中“” 处的图形应是乙图. 90（或一格）。 现在我们再回到题目上来，容易看出例5题中按（a）、 （b）、（c）、（d）、（e）、（ f）、（g）、（h）、（i） 顺序排列的9个图形，它们的变化 规律是每一个图形（a 除外） 都是由其前一个图形逆时针旋转90而得到的.甲乙丙丁四个图 形变化规律也类似。 解图（i）处的图形应是下面左图，丁图处的图形应是下面右图 注意因为图形是由旋转而得到的，所以其中三角形、菱形的方向随旋转而变化，作图的 时候要注意到这一点。 旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，可以提高观察能力， 加快解题速度，对于许多问题的解决，也有事半而功倍的效果。 下面再来看几个例子 例例6 6 仔细观察下图中图形的变化规律，并在“”处填入合适的图形. 分析 显然，图（ a）、 （b）的变化规律对应于图（ c）的变化规律；图（ d）、（e）的变化规律 也对应于图（f）的变化规律，我们先来观察（a）、（b）两组图形，发现在形状、位置方面 都发生了变化，即把圆变为它的一半半圆，把三角形也变为它的一半直角三角形； 同时，变化后图形的位置相当于把原图形沿顺时针方向旋转90而得到.因此，我们很容易地就 把图（ c）中的直角梯形还原为等腰梯形并通过逆时针旋转而得到图（c）“”处的图形。 小结本题是一道较为复杂的题，观察的出发点主要有3点 ① 形状变化；② 位置变化；③ 颜色变化。 例例7 7 四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第1号位子上， 小猴坐在第2号，小兔坐在第3 号，小猫坐在第4号.以后它们不停地交换位子， 第一次上下两排交换.第二次是在第一次交换 后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换这样一直换下去.问 第十次交换位子后， 小兔坐在第几号位子上（参看下图） 分析 这是“华罗庚金杯”第二届初赛的一道试题，如果有充裕的时间，我们当然可以把十次 变化的图都画出来，从而得到答案.10并不是一个很大的数字，因此这样的方法虽然麻烦， 却也是行之有效的.然而， 在初赛中， 本题的思考时间只有30秒， 不可能一步步把图画出来， 这就要求我们仔细观察，认真思考，找出规律再做题。 方法1因为题目中问的只是第十次交换位子后， 小兔的位子是几 .因此， 我们只需考虑小兔的 位子变化规律，小兔刚开始时在 3号位子，记为 ③，则 次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每四次交换座位后，小兔又回到原处， 知道了这个规律，就不难得出答案.即10次后，小兔到了第2号位子。 方法2受方法一的启示，我们可以思考，其他小动物的变化规律怎样四个小动物的整体变化 规律又怎样呢事实上，当我们仔细观察示意图时会发现，开始的图沿顺时针方向旋转两格（即 180 ）时，恰得到第二次交换位子后的图，由此可以知道，每一次上下交换后再一次左右交换的结 果就相当于把原图沿顺时针方向旋转180，第十次交换位子 后，相当于是这些小动物沿顺时针方向 转了4圈半，这样，我们就得到了小兔的位子及它们的整体变化规律.但其中需注意一点的是单独 一次上下 （或左右） 的交换与旋转 90得到的结果是不同的.小猫、 小鼠的位子变化规律是沿逆时针方 向，而小猴的位子变化规律与小兔相似。 解第十次交换位子后，小兔到了2号位子。 例例8 8 将A、B、