23恒成立问题——数形结合法高中数学讲义微专题版

微专题 23 恒成立问题数形结合法 一、基础知识 1、函数的不等关系与图像特征 （1）若xD，均有f x gx fx的图像始终在gx的下方 （2）若xD，均有f x gx fx的图像始终在gx的上方 2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等 4、作图时可“先静再动” ，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数 的不同取值而发生变化） 5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备 6、什么情况下会考虑到数形结合利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点 （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及 的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题 例 1已知不等式x1  log a x在x1,2上恒成立，则实数a的取值范围是_________ 思路本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出y x 1的图像，观察图像可 得 若 要 使 不 等 式 成 立 ， 则y  logax的 图 像 应 在 2 2 y x 1 的上方，所以应为单增的对数函数，即a 1， 另一方面，观察图像可得若要保证在x1,2时不等式 成立，只需保证在x  2时，x1  log a x即可，代入 2 2 x  2可得1 log a 2  a  2，综上可得1 a  2 答案1 a  2 小炼有话说 （1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小 了参数讨论的取值范围。 （2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的x  2） （3）处理好边界值是否能够取到的问题 例 2若不等式log a x  sin2xa  0,a 1对于任意的x0, 范围是___________ 思路本题选择数形结合，可先作出y  sin2x在x0,     4 都成立，则实数a的取值    的图像，a扮演的角色为对数的  4 底数，决定函数的增减，根据不等关系可得0 a 1，观察图像进一步可得只需x   4 时， log a x  sin2x ， 即l o g a  s i n  2  44   1 a ， 所 以 4   a,1 4 答案a  ,1 4  例 3若不等式x  x 2c 1对任意xR恒成立，求c的取值范围 思路恒成立不等式变形为x2c 1 x，即y  x2c的图像在y 1 x图像的上方即 可， 先作出y 1 x的图像， 对于y  x2c， 可看作y  x 经过平移得到， 而平移的距离与c的取值有关。 通过观察图像， 可得只需2c 1，解得c  答案 c  1 2 1 2 小炼有话说 在本题中参数c的作用是决定图像平移变换的程度， 要抓住参数在图像中的作用， 从而在数形结合中找到关于参数的范围要求 例 4若| p| 2,不等式x  px1 2p x恒成立,则x的取值范围是______ 思路本题中已知p的范围求x的范围，故构造函数时可看作关于p的函数，恒成立不等式 变形为 x2p x  x1 0 ,设f xx 2p x  x 12  p  2,即关于 p 22 2 的一次函数，由图像可得无论直线方向如何，若要f x 0，只需在端点处函数值均大于 0 即 可 ， 即  11 3 f 2 0 , 解 得 x  或 2   f 2 0 x  113 2 113113 或x  22 答案x   小炼有话说 （1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知， 则以该字母作为自变量构造函数。 （2）线段的图像特征若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。 （3）对点评（2）的推广已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线 上所有点均与端点同侧 例 5已知函数f x x mx 1，若对任意的xm,m 1，都有 fx 0成立，则实 2 数m的取值范围是_____________ 思路恒成立的不等式为x  mx 1 0，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为x所 在区间含参，m的取值将决定分离时不等号方 向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。 换一个角度观察到f x是开口向上的抛物线， 若要f x 0，只需端点处函数值小于零即可 mm1 2   f （无论对称轴是否在区间内） ，所以只需 f    2  ,0 2   22  m  m 2m 1 0  22 ， m 1 2m2 3m  0  3  m  0   2 2 解得m  2  ,0 答案 2  小炼有话说本题也可以用最值法求解若 fx 0，则fx max  0，而fx是开口向 上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以   fm 0 ，再解出m的范围即可   fm 1 0 例 6已知函数f x x 1 a x ，设关于x的不等式f x a fx的解集为 A，若   1 1 ,   A，则实数a的取值范围是_____________   2 2 思路首先理解条件 ,   A，即x  ,  时，不等式f xa fx恒成立， 2 22 2 可判断出函数f x为奇函数，故先作出x  0的图像， 即y  ax  x，参数a的符号决定开口方向与对称轴。 故分类讨论当a  0时，y  ax  x单调递增，且 观察图像可得不 fx a为fx向左平移a个单位， 存在满足条件的a， 当a  0时，y  ax  x开口向下， 且f x a为 fx向右平移a个单位，观察可得只需x  2 2 2  1 1   1 1  11 ,x   ，f xa fx， 22 1  a    f x 2  解得 1  a    f x 2   f   1 1 即可保证x  ,  ，f x a的图像始终在 fx的下方。  2 2  f   15  a  0；当a  0时，代入验证不符题意。 2 答案 15  a  0 2 小炼有话说 （1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志子集关系 （2）注意函数奇偶性对作图的影响 （3）本题中参数a扮演两个角色① f