2020中考数学复习微专题：最值阿氏圆问题突破与提升策略

2020 中考数学复习微专题最值（阿氏圆问题） 突破与提升策略 所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内， 到两个定点距离之比等于定值（不为 1）的点的集合叫做圆． 如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PAPBk（k≠1） ，则满足条件的所有的点 P 构成的图形为圆． P A BO 下给出证明 法一首先了解两个定理 （1） 角平分线定理 如图， 在△ABC 中， AD 是∠BAC 的角平分线， 则 ABDB ．  ACDC A E F B D C 证明 S S ABD ACD  SBD ， CDS ABD ACD  AB DEABABDB ，即  ACDFACACDC （2）外角平分线定理如图，在△ABC 中，外角 CAE 的角平分线 AD 交 BC 的 延长线于点 D，则 ABDB ．  ACDC E A B C D 证明 在 BA 延长线上取点 E 使得 AEAC， 连接 BD， 则△ ACD≌△AED （SAS） ，CDED 且 AD 平分∠BDE，则 接下来开始证明步骤 DBABABDB ，即．  DEAEACDC P A MBO N 如图，PAPBk，作∠APB 的角平分线交 AB 于 M 点，根据角平分线定理， MAPA  k，故 M 点为定点，即∠APB 的角平分线交 AB 于定点； MBPB 作∠APB 外角平分线交直线 AB 于 N 点，根据外角平分线定理， 故 N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线 AB 于定点； 又∠MPN90，定边对定角，故 P 点轨迹是以 MN 为直径的圆． P NAPA  k， NBPB A MBO N 法二建系 不妨将点 A、B 两点置于 x 轴上且关于原点对称，设A（-m，0） ，则B（m，0） ， 设 P（x，y） ，PAkPB，即 x  m  y2 k x m  y2 22x  m  y2 k2x  m k2y2 22 k 2 21x2 y22m 2k2mx k21m2 0 2 2m  2k2m x  y x  m2 0 2k 1 解析式满足圆的一般方程，故 P 点所构成的图形是圆，且圆心与 AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢且来先看个例子 如图，在 Rt△ABC 中，∠C90，AC4，BC3，以点 C 为圆心，2 为半径作圆 C，分别交AC、BC 于 D、E 两点，点P 是圆 C 上一个动点，则 PA PB的最小 值为__________． A 1 2 D P CE B 【分析】这个问题最大的难点在于转化 PA，此处 P 点轨迹是圆，故转化方法 与之前有所不同，如下，提供两种思路． 法一构造相似三角形 注意到圆 C 半径为 2，CA4，连接 CP，构造包含线段 AP 的△CPA，在CA 边上 取点 M 使得 CM2， 连接 PM， 可得△CPA∽△CMP， 故 PA PM21， 即 PM PA． 1 2 1 2 A D P M B C 问题转化为 PMPB 最小值，直接连 BM 即可． 【问题剖析】 （1）这里为什么是 PA 答 因为圆 C 半径为 2， CA4， 比值是 12， 所以构造的是 PA， 也只能构造PA． （2）如果问题设计为 PAkPB最小值，k 应为多少 答根据圆 C 半径与 CB 之比为 23，k 应为． 【小结】 此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解 决． 法二阿氏圆模型 对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点 M 使得 PMPA12，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛 2 3 1 2 1 2 1 2 PP A BO A BO 而且这种问题里，给定的圆的位置、定点 A 的位置、线段的比例等，往往都是 搭配好的 P 点轨迹圆的圆心 C 点和 A 点在直线 AC 上，故所求 M 点在 AC 边上，考虑到 PMPA12，不妨让 P 点与 D 点重合，此时 DM DA1，即可确定 M 点位置． A A 已知PA、PB之比确定圆已知PA、圆确定PB 1 2 2 D P 1 M C B M B D C P 如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时 PM3，PA6，亦满足 PMPA12． 【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找 出所求 M 点位置，虽不够严谨，却很实用． 【练习 1】如图，在ABC中，∠ACB90，BC12，AC9，以点 C 为圆心，6 为半径的圆上有一个动点 D． 连接 AD、 BD、 CD， 则 2AD3BD 的最小值是． C D A B 2 【分析】首先对问题作变式 2AD3BD3 AD  BD  ，故求 AD  BD最小值即 33 2 可． 考虑到 D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造 AD，条件已经足够明显． 当 D 点运动到 AC 边时，DA3，此时在线段CD 上取点 M 使得 DM2，则在点 D 运动过程中，始终存在DM  DA． 2 3 2 3 C C M D A B A M D B 问题转化为 DMDB 的最小值，直接连接 BM，BM 长度的 3 倍即为本题答案． C M D A B 【练习 2】如图，已知正方ABCD 的边长为 4，圆B 的半径为 2，点P 是圆 B 上 的一个动点，则PD PC的最大值为_______． AD 1 2 P BC 【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC2，根据题意要求构造 PC，在 BC 上取 M 使得此时 PM1，则在点 P 运动的任意时刻，均有 PM PC，从而将问 题转化为求 PD-PM 的最大值． ADAD 1 2 1 2 P B P M CB M C 连接 PD，对于△ PDM，PD-PM＜DM，故当 D、M、P 共线时，PD-PMDM 为 最大值． ADA D P B M CB M C P