2020重庆中考复习数学几何最值---线段和的最小值求解策略

20202020 重庆中考复习数学几何最值重庆中考复习数学几何最值--------线段和的最小值求解策略线段和的最小值求解策略 一、利用将军饮马转化为点到直线的距离一、利用将军饮马转化为点到直线的距离------------垂线段最短求最小值垂线段最短求最小值 例例 1 1、、 （（20162016 春句容市期中）矩形春句容市期中）矩形 ABCDABCD 中，中，ABAB＝＝3 3，，BCBC＝＝4 4，∠，∠BACBAC 的平分线交的平分线交 BCBC 于于 E E，，P P、、Q Q 分别分别 是是 AEAE、、ABAB 上的动点，则上的动点，则 PBPB PQPQ 的最小值是（的最小值是（）） A A．．5 5B B．．C C．．D D．． 解过解过 B B 作作 BHBH⊥⊥ACAC 于于 H H，交，交 AEAE 于于 P P，过，过 P P 作作 PQPQ⊥⊥ABAB 于于 Q Q，， ∵∵AEAE 平分∠平分∠BACBAC，∴，∴PHPH＝＝PQPQ，∴，∴BHBH＝＝PBPB PHPH＝＝PBPB PQPQ，则，则 BHBH 即为即为 PBPB PQPQ 的最小值，的最小值， ∵矩形∵矩形 ABCDABCD 中，中，ABAB＝＝3 3，，BCBC＝＝4 4，∴，∴ACAC＝＝ ∴∴BHBH＝＝＝＝，∴，∴PBPB PQPQ 的最小值是的最小值是．． ＝＝5 5，∴，∴S S△ △ ABCABC ＝＝ABAB BCBC＝＝ACAC BHBH，， 例例 2 2、如图，在、如图，在 ABCDABCD 中，中，ABAB＝＝2 2，，AB  AC，∠，∠D D＝＝6060，点，点P P、、Q Q 分别是分别是 ACAC 和和 BCBC 上的动点，在点上的动点，在点P P 和点和点 Q Q 运动的过程中，运动的过程中，PBPB PQPQ 的最小值为（的最小值为（）） A A．．4 4B B．．3 3C C．．2 2 F D D．．4 4 A P D B Q C 解作点解作点 B B 关于关于 ACAC 的对称点的对称点 F F，连接，连接 CFCF，作，作FQ  BC交交 ACAC 于点于点 P P，，由垂线段最短可知由垂线段最短可知 FQFQ 的长即为的长即为 PBPB PQPQ 的最小值，易知△的最小值，易知△BCFBCF 是等边三角形，∴是等边三角形，∴BPBP PQPQ 的最小值为的最小值为 2 2 二、利用将军饮马转化为两点之间线段最短求最小值二、利用将军饮马转化为两点之间线段最短求最小值 例例 3 3、如图，已知在矩形、如图，已知在矩形ABCDABCD 中，中，ABAB＝＝4 4，，BCBC＝＝2 2，点，点MM，，E E 在在 ADAD 上，点上，点F F 在边在边 ABAB 上，并且上，并且DMDM＝＝1 1，， 现将△现将△AEFAEF 沿着直线沿着直线 EFEF 折叠，使点折叠，使点 A A 落在边落在边 CDCD 上的点上的点 P P 处，则当处，则当 PBPB PMPM 的和最小时，的和最小时，MEME 的长度为的长度为 （（））A A．．B B．．C C．．D D．． ．故选．故选C C．． 1 解延长解延长 ADAD 到到 MM′，使得′，使得 DMDM′＝′＝DMDM＝＝1 1，连接，连接 PMPM′，如图．当′，如图．当PBPB PMPM 的和最小时，的和最小时，MM′、′、P P、、B B 三三 点共线．∵四边形点共线．∵四边形 ABCDABCD 是矩形，是矩形，ABAB＝＝4 4，，BCBC＝＝2 2，∴，∴DCDC＝＝ABAB＝＝4 4，，ADAD＝＝BCBC＝＝2 2，，ADAD∥∥BCBC，， ∴△∴△DPMDPM′∽△′∽△CPBCPB，∴，∴＝＝＝＝，∴，∴DPDP＝＝PCPC，∴，∴DPDP＝＝DCDC＝＝．． 设设 AEAE＝＝x x，则，则 PEPE＝＝x x，，DEDE＝＝2 2﹣﹣x x，在，在 RtRt△△PDEPDE 中，∵中，∵DEDE2 2 DPDP2 2＝＝PEPE2 2，∴（，∴（2 2﹣﹣x x））2 2 （（））2 2＝＝x x2 2，解，解 得得x x＝＝，∴，∴MEME＝＝AEAE﹣﹣AMAM＝＝﹣﹣1 1＝＝．故选．故选B B．． 例例 4 4、如图，已知，在矩形、如图，已知，在矩形 ABCDABCD 中，中，ADAD＝＝4 4，，ABAB＝＝8 8，点，点 E E，，F F 是边是边 CDCD 上的动点（点上的动点（点 F F 在点在点 E E 右侧）右侧） ，， 且且 EFEF＝＝2 2，则四边形，则四边形 ABFEABFE 周长的最小值为周长的最小值为2020．． A M B D EF C N 解在解在 ABAB 上截取上截取 AMAM＝＝EFEF，作点，作点 MM 关于直线关于直线 DCDC 的对称点的对称点 N N，连接，连接 BNBN 交交 CDCD 于于 F F，此时四边形，此时四边形 AEFBAEFB 的周长最小．四边形的周长最小．四边形 AEFBAEFB 的周长的最小值＝的周长的最小值＝ ABAB EFEF AEAE BFBF＝＝ABAB EFEF MFMF BFBF＝＝ABAB EFEF NFNF BFBF＝＝ ABAB EFEF NBNB＝＝8282＝＝2020，， 例例 5 5、如图，菱形、如图，菱形 ABCDABCD 的边长为的边长为 4 4，∠，∠A A＝＝6060，，E E 是边是边 ADAD 的中点，的中点，F F 是边是边 ABAB 上的一个动点将线段上的一个动点将线段 EFEF 绕着点绕着点 E E 逆时针旋转逆时针旋转 6060得到得到 EGEG，连接，连接 BGBG、、CGCG，则，则 BGBG CGCG 的最小值为（的最小值为（）） A A．．3 3B B．．2 2C C．．4 4D D．．2222 2 解如图，取解如图，取 ABAB 的中点的中点 N N．连接．连接 ENEN，，ECEC，，GNGN，作，作 EHEH⊥⊥CDCD 交交 CDCD 的延长线于的延长线于 H H．． ∵四边形∵四边形 ABCDABCD 是菱形，∴是菱形，∴ADAD＝＝BDBD，∵，∵AEAE＝＝EDED，，ANAN＝＝NBNB，∴，∴AEAE＝＝ANAN，， ∵∠∵∠A A＝＝6060，∴△，∴△AENAEN 是等边三角形，∴∠是等边三角形，∴∠AENAEN＝∠＝∠FEGFEG＝＝6060，∴∠，∴∠AEFAEF＝∠＝∠NEGNEG，， ∵∵EAEA＝＝ENEN，，EFEF＝＝EGEG，∴△，∴△AEFAEF≌△≌△NEGNEG（（SASSAS）） ，∴∠，∴∠ENGENG＝∠＝∠A A＝＝6060，∵∠，∵∠ANEANE＝＝6060，， ∴∠∴∠GNBGNB＝＝180180﹣﹣6060﹣﹣6060＝＝6060，∴点，∴点G G 的运动轨迹是射线的运动轨迹是射线 NGNG，易知，易知B B