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2020高考数学100个必考知识点详解23恒成立问题——数形结合法

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2020高考数学100个必考知识点详解23恒成立问题——数形结合法

第第 2323 恒成立问题数形结合法恒成立问题数形结合法 一、基础知识 1、函数的不等关系与图像特征 (1)若xD,均有f x gx fx的图像始终在gx的下方 (2)若xD,均有f x gx fx的图像始终在gx的上方 2、在作图前,可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形,转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色,如斜率,截距等 4、作图时可“先静再动” ,先作常系数的函数的图像,再做含参数函数的图象(往往随参数 的不同取值而发生变化) 5、在作图时,要注意草图的信息点尽量完备 6、 什么情况下会考虑到数形结合利用数形结合解决恒成立问题, 往往具备以下几个特点 (1)所给的不等式运用代数手段变形比较复杂,比如分段函数,或者定义域含参等,而涉 及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 (2)所求的参数在图像中具备一定的几何含义 (3)题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题 例 1 已知不等式x1  log a x在x1,2上恒成立, 则实数a的取值范围是_________ 思路本题难于进行参变分离,考虑数形结合解决,先作出y x 1的图像,观察图像 可得若要使不等式成立,则y  logax的图像应在 2 2 y x 1的上方,所以应为单增的对数函数,即a 1, 另一方面,观察图像可得若要保证在x1,2时不等式 成立,只需保证在x  2时,x1  log a x即可,代入 2 2 x  2可得1 log a 2  a  2,综上可得1 a  2 答案1 a  2 小有话说 (1)通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性, 进而缩小了 参数讨论的取值范围。 (2)学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点(例如本题中的x  2) (3)处理好边界值是否能够取到的问题 例 2若不等式log a x  sin2xa  0,a 1对于任意的x0, 值范围是___________ 思路本题选择数形结合,可先作出y  sin2x在x0,    4   都成立,则实数a的取    4   的图像,a扮演的角色为对数 的底数, 决定函数的增减, 根据不等关系可得0  a 1, 观察图像进一步可得只需x   4 时, log a x  sin2x,即loga  4  sin2  4 1 a   4 ,所以  a,1 4 答案a  ,1 4 例 3若不等式x  x 2c 1对任意xR恒成立,求c的取值范围 思路恒成立不等式变形为x2c 1 x,即y  x2c的图像在y 1 x图像的上方 即可,先作出y 1 x的图像,对于y  x2c,可看作 y  x经过平移得到,而平移的距离与c的取值有关。通过观 察图像,可得只需2c 1,解得c  答案 c  1 2 1 2 小有话说 在本题中参数c的作用是决定图像平移变换的程度, 要抓住参数在图像中的作用, 从而在数形结合中找到关于参数的范围要求 例 4若| p| 2,不等式x  px1 2p x恒成立,则x的取值范围是______ 思路本题中已知p的范围求x的范围,故构造函数时可看作关于p的函数,恒成立不等 式变形为 x 2p x  x1 0 ,设f xx 2p x  x12  p  2,即关 22 2 于p的一次函数,由图像可得无论直线方向如何,若要f x 0,只需在端点处函数值 均大于 0 即可,即  113 f 2 0 ,解得x  或 2   f2 0 x  113 2 113113 或x  22 答案x   小有话说 (1)对于不等式,每个字母的地位平等,在构造函数时哪个字母的范围已知,则 以该字母作为自变量构造函数。 (2)线段的图像特征若两个端点均在坐标轴的一侧,则线段上的点与端点同侧。 (3)对点评(2)的推广已知一个函数连续且单调,若两个端点在坐标轴的一侧,则曲线 上所有点均与端点同侧 例 5已知函数f x x mx 1,若对任意的xm,m 1,都有 fx 0成立,则 2 实数m的取值范围是_____________ 思路恒成立的不等式为x  mx 1 0,如果进行参变分离,虽可解决问题,但是因为x 所在区间含参,m的取值将决定分离时不等号 方向是否改变,需要进行分类讨论,较为麻烦。 换一个角度观察到f x是开口向上的抛物线, 若要f x 0,只需端点处函数值小于零即可 (无论对称轴是否在区间内) ,所以只需 mm1 2   f  f   22  m  m 2m 1 0  2   22 ,0 ,解得m 22m 1 2m 3m  0  3  m  0    2 2 答案   2  ,0 2  小有话说本题也可以用最值法求解若f x 0,则 fx m ax  0,而fx是开口向上 的抛物线,最大值只能在边界处产生,所以   fm 0 ,再解出m的范围即可   fm 1 0 例 6已知函数f x x 1a x ,设关于x的不等式f xa fx的解集为 A,若   1 1 ,   A,则实数a的取值范围是_____________   2 2 思路 首先理解条件 ,   A, 即x  ,  时, 不等式f xa fx恒成立, 2 22 2 可判断出函数f x为奇函数,故先作出x  0的图像, 即y  ax  x,参数a的符号决定开口方向与对称轴。 故分类讨论当a  0时,y  ax  x单调递增,且 观察图像可得不 fx a为f x向左平移a 个单位, 存在满足条件的a, 当a  0时,y  ax  x开口向下, 且f x a为 f x向右平移 a 个单位,观察可得只需x  2 2 2  1 1   1 1  11 ,x   , 22  1 1 fxa fx,即可保证x  ,  ,f x a的图像始终在 f x的下方。  2 2   f    f   1  a    f x 215   a  0;当a  0时,代入验证不符题意。 解得 2 1  a    f x 2  15  a  0 2 答案 小有话说 (1)注意本题中“恒成立问题”的隐含标志子集关系 (2)注意函数奇偶性对作图的影响 (3)本题中参数a扮演两个角色① f x二次项系数决定抛

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