2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册2平面向量的运算教案

6.16.1向量的加法运算向量的加法运算 本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册 （人教 A 版）第六章平面向 量及其应用 ，本节课是本章第 2 课时， 向量的加法是第六章平面向量的线性运算的第一 节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用, 大约需要 1 课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学 习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个 向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在平面向量及空间向量中有很 重要的地位。 课程目标课程目标 A.理解向量加法的意义； B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量 加法的另两个运算法则； C.理解向量的运算律； D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的 过程和思想，增强学生的应用意识。 1.教学重点两个向量的和的概念及其几何意义； 2.教学难点向量加法的运算律。 学科素养学科素养 1.数学抽象向量的加法； 2.逻辑推理向量的加法法则； 3.数学运算求向量的和； 4.直观想象向量加法的集合意义。 多媒体 教学过程教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新一、复习回顾，温故知新 1. 向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么 【答案】向量既有方向又有大小的量。 平行向量方向相同或相反的向量。 相等向量方向相同并且长度相等的向量。 2. 用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的什 么叫零向量和单位向量 【答案】向量的大小有向线段的长度。 向量的方向有向线段的方向。 零向量长度为零的向量叫零向量； 单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量。 二、探索新知二、探索新知 思考 1如图，某质点从点 A 经过点 B 到点 C，则这个质点的位移 怎么表示 通过复习上节所学， 引入本节新课。建立 知识间的联系，提高 学生概括、类比推理 的能力。 通过思考，由质 点的位移引入向量 【答案】从运算的角度看， AC 可以认为是 AB 与 BC 的和，即 位移、可以看作向量的加法。 1.已知向量a和b，如图在平面内任取一点O，作 OA a,ABb ， 则向量OB叫做a和b的和， 记作 ab ． 即 ab  OA AB  OB 。 加法的三角形法则， 提高学生的解决问 题、分析问题的能 力。 求两个向量和的运算叫做向量的加法. 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法， 称为向量加法的三角形 法则． 【口诀】首尾相连首尾连。 思考 2某物体受到 F1，F2作用，则该物体所受合力怎么求 通过口诀，让学 生更容易识记法则。 通过思考，由力 的合成引入向量加 法的平行四边形法 则，提高学生的解决 【答案】 从运算的角度看，可以认为是 F 与 F 1和F2的和，即力 的合成可以看作向量的加法。 2.向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量a和b为邻边作平行四 边形 OACB， 则以 O 为起点的对角线 OC 就是a和b的和， 我们把这 种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 问题、分析问题的能 力。 OC  OAOB 【口诀】起点相同，对角线为和。 思考 3 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗为什么 【答案】一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。 注向量的加法运算结果还是向量 对于零向量与任一向量a．我们规定a0  0a  0。 例 1.如图，已知向量a和b，求作向量ab。 通过思考，进一步理 解向量加法的三角 解 形法则和平行四边 形法则，提高学生的 解决问题、分析问题 探究 1如果向量a和b共线，它们的加法与数的加法有什么关系 你能做出向量ab吗 【答案】 （1）当a和b同向时， 的能力。 通过例题讲解，让学 生理解怎样用向量 的三角形法则与平 行四边形法则求向 量的和，提高学生解 （2）当a和b反向时， 决问题的能力。 通过探究，求共线向 ab  AB  BC  AC ab  AB  BC  AC 探究 2结合例 1，探索|ab|,|a|,|b|之间的关系。 【答案】由例1 和探究 1 可得，当 a 和 b 反向或不共线时， |ab||a||b| ；当 a 和 b 同向时， |ab||a||b| 。所以， 量的和，进一步理解 |ab||a||b| 。 结论一般地，有|ab||a||b|。 探究 3数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换 律和结合律呢 向量的求和法则，提 高学生的解决问题、 分析问题的能力。 【答案】在平行四边形 ABCD 中， AC  ABBC  ab, 通过探索 AC  AD  DC  b a ，所以 ab  ba 。 在图（2）中， AD ABBCCD ACCDabc ， |ab|,|a|,|b| 之间 的关系，进一步理解 向量的求和法则，提 高学生的解决问题、 分析问题的能力。 通过探究，结合向量 的求和法则推导加 法运算律，进一步理 解向量的求和法则， 提高学生的解决问 题、分析问题的能 力。 AD ABBCCD ABBD abc ，所以， abc  a （bc） 。 结论向量加法的交换律和结合律 （bc） ab  ba ， abc  a 例 2.长江两岸之间没有大桥的地方， 常常通过轮船进行运输， 如图所 示，一艘船从长江南岸 A 点出发，以 2 3 km/h 的速度向垂直于对 岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表 示） 。 解 （1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB 为邻 边作平行四边形 ABCD ，则 AC 表示船实际航行的速度。 （2）在 RtABC 中， | AB| 2,| BC| 2 3 ， 所 以 ， | AC || AB|2| BC |2222 32 4 ， tanCAB  因为， |BC| |AB|  2 3 3 2  ，所以CAB  60。 通过例题进一 步理解的运算，用向 量解决实际问题，提 高学生用向量解决 问题的能力。 所以，船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为 60。 三、达标检测 →→→→ 1．化简OP＋PQ＋PS＋SP的结果等于 →→→→ A．QPB．OQC．SPD．SQ →→→→→→ 【解析】OP＋PQ＋PS＋SP＝OQ＋0＝OQ. 【答案】B →→→ 2．在四边形 ABCD 中，AC＝AB＋AD，则一定有 A．四边形 ABCD 是矩形 B．四边形 ABCD 是菱形 C．四边形 ABCD 是正方形 D．四边形 ABCD 是平行四边形 →→→→→ 【解析】 由AC＝AB＋AD得AD＝BC， 即 AD＝BC， 且 AD∥BC， 所以四边形 ABCD 一组对边平行且