2018版高中数学苏教版选修2学案：3最大值与最小值

1.3.31.3.3最大值与最小值最大值与最小值 学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函 数的最值． 知识点函数的最大小值与导数 如图为 y＝fx，x∈[a，b]的图象． 思考 1观察[a，b]上函数 y＝fx的图象，试找出它的极大值、极小值． 思考 2结合图象判断，函数 y＝fx在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值若存在，分 别为多少 思考 3函数 y＝fx在[a，b]上的最大小值一定是某极值吗 思考 4怎样确定函数 fx在[a，b]上的最小值和最大值 1．函数的最大小值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝fx的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大 值与最小值． 2．求函数 y＝fx在闭区间[a，b]上的最值的步骤 1求函数 y＝fx在a，b上的______； 2将第1步中求得的极值与 fa，fb比较，得到 fx在区间[a，b]上的最大值与最小值. 类型一求函数的最值 22 例 1已知函数 fx＝－x3＋ax2＋1a∈R ，且 fx在点 ，f 处的切线垂直于 y 轴． 33 1求实数 a 的值； 2求 fx在区间[0,2]上的最大值和最小值． 反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点1对函数进行准确求导， 并检验 f′x＝0 的根是否在给定区间内；2研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数 值；3比较极值与端点函数值大小，确定最值． ππ 跟踪训练 11函数 fx＝x2－cos x，x∈[－ ， ]的值域是________． 22 2已知函数 fx＝x3－ax2＋3x，若 x＝3 是 fx的极值点，求 fx在 x∈[1，a]时的最值． 类型二由函数的最值求参数 例 21已知函数 fx＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为 3，最小值为－29，求 a，b 的 值． 2已知 hx＝x3＋3x2－9x＋1 在区间[k,2]上的最大值是 28，求 k 的取值范围． 跟踪训练 21若函数 fx＝3x－x3在区间a2－12，a上有最小值，则实数 a 的取值范围是 ________． 2已知函数 fx＝x－lnx＋a的最小值为 0，其中 a0.求 a 的值． 类型三与最值有关的恒成立问题 例 3设函数 fx＝tx2＋2t2x＋t－1x∈R ，t0． 1求函数 fx的最小值 ht； 2在1的条件下，若 htfx恒成立⇔afxmax，a0； ④afx能成立⇔afxmin，ax－ x2. 2 反思与感悟1解决本题首先要注意函数的定义域，再正确地构造出函数fx＝lnx＋1－x 1 ＋ x2，把问题转化为求函数fx的最值． 2 2利用函数的最值证明不等式的基本步骤是 ①将不等式构造成 fx0或0 时，求证1＋2x－1的最小值．＋ 1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间 内只有一个极值，这个极值就是最值． 2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题． 提醒完成作业1.3.3 答案精析答案精析 问题导学 知识点 思考 1极大值为fx1，fx3，极小值为 fx2，fx4． 思考 2存在，fxmin＝fa，fxmax ＝fx3． 思考 3不一定，也可能是区间端点的函数值． 思考 4比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值． 1．连续不断 2．1极值 题型探究 2 例 1解1依题意f′ ＝0， 3 因为 f′x＝－3x2＋2ax， 22 所以－3 2＋2a ＝0， 33 所以 a＝1. 2由1知fx＝－x3＋x2＋1， f′x＝－3x2＋2x， 2 令 f′x＝0 x1＝0，x2＝ . 3 231 因为 f0＝1，f ＝，f2＝－3， 327 31 所以 fxmax＝，fxmin＝－3. 27 π 2 跟踪训练 11[－1，] 4 2解f′x＝3x2－2ax＋3， 由题意知 f′3＝0，即 27－6a＋3＝0， 解得 a＝5， ∴f′x＝3x2－10 x＋3. 令 f′x＝0，即 3x2－10 x＋3＝0， 1 解得 x＝3 或 x＝ 舍去． 3 ∵f3＝－9，f1＝－1，f5＝15， ∴当 x∈[1,5]时，fx的最小值为－9，最大值为 15. 例 2解1由题设知 a≠0，否则 fx＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得 f′x＝3ax2－12ax＝3axx－4， 令 f′x＝0，得 x1＝0，x2＝4舍去． ①当 a0，且 x 变化时，f′x，fx的变化情况如下表 x f′x fx －1 －7a＋b －1,0 ＋ 0 0 b 0,2 － 2 －16a＋b 由表可知，当 x＝0 时，fx取得极大值 b，也就是函数在[－1,2]上的最大值， ∴f0＝b＝3. 又 f－1＝－7a＋3，f2＝－16a＋30，fx在1 －a，＋∞上单调递增． 因此，fx在 x＝1－a 处取得最小值， 由题意知 f1－a＝1－a＝0，故 a＝1. 例 3解1∵fx＝tx＋t2－t3＋t－1x∈R ，t0， ∴当 x＝－t 时，fx的最小值为 f－t＝－t3＋t－1， 即 ht＝－t3＋t－1. 2令 gt＝ht－－2t＝－t3＋3t－1. 由 g′t＝－3t2＋3＝0 及 t0，得 t＝1， 当 t 变化时，g′t，gt的变化情况如下表 t g′t gt 0,1 ＋ 1 0 极大值 1,2 － 由上表可知当 t＝1 时，gt有极大值 g1＝1. 又在定义域0,2内，gt有唯一的极值点， ∴函数 gt的极大值也就是 gt在定义域0,2内的最大值，即 gtmax＝1. htgx在区间[1,2]上恒成立， 即 xx2－aln x，从而 a0， 所以 hx在[1,2]上单调递增，从而 hxmin＝h1＝1，所以 a0 时，fxf0＝0，即当 x0 时，lnx＋1x－ x2. 2 跟踪训练 4证明构造函数 fx＝1＋2x－e2xx0， 则 f′x＝2－2e2x. ∵x0，∴e2x1， ∴f′x＝2－2e2x0，∴fx在0，＋∞内为增函数． 故函数 fx在 x＝0 处取得最小值 f0＝0.