2017年高考数学理一轮对点训练：10-2椭圆的几何性质

x2y2 1．一个圆经过椭圆16＋ 4 ＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半 轴上，则该圆的标准方程为________． 32 2 25  答案x－2＋y ＝ 4  解析由题意知，圆过椭圆的三个顶点4,0，0,2，0，－2， 3 设圆心为a,0，其中 a0，由 4－a＝ a2＋4，解得 a＝2，所以该圆 32 2 25  的标准方程为 x－2＋y ＝ 4 .  1x2y2 2.过点 M1,1作斜率为－2的直线与椭圆 Ca2＋b2＝1ab0相 交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于 ________． 2 答案 2 解析设 Ax1，y1，Bx2，y2， 2 x2y1 1 则a2＋b2＝1①， 2 x2y2 2 2＋2＝1②. ab y1－y2b2x1＋x2 ①、②两式相减并整理得＝－a2. x1－x2y1＋y2 1b22 把已知条件代入上式得，－2＝－a22， b21 ∴a2＝2，故椭圆的离心率 e＝ b22 1－a2＝ 2 . x2y2 3．已知椭圆 Ca2＋b2＝1ab0的左焦点为 F，C 与过原点的 直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF 4 ＝5，则 C 的离心率 e＝________. 5 答案 7 x2＋102－62 解析如图， 设右焦点为 F1， |BF|＝x， 则 cos∠ABF＝ 20 x 4 ＝5. 解得 x＝8，故∠AFB＝90.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1| ＝8，且∠FAF1＝90，△FAF1是直角三角形，|F1F2|＝10，故 2a＝8 c5 ＋6＝14,2c＝10，e＝a＝7. x2y2 4．设椭圆 E 的方程为a2＋b2＝1ab0，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为a,0，点 B 的坐标为0，b，点 M 在线段 AB 上，满足|BM| 5 ＝2|MA|，直线 OM 的斜率为 10 . 1求 E 的离心率 e； 2设点 C 的坐标为0，－b，N 为线段 AC 的中点，点N 关于直 7 线 AB 的对称点的纵坐标为2，求 E 的方程． 1 2 5 解1由题设条件知，点 M 的坐标为3a，3b，又 kOM＝ 10 ，从  b5c2 5 而2a＝10，进而得 a＝ 5b，c＝ a2－b2＝2b，故 e＝a＝ 5 . xy 2由题设条件和1的计算结果可得， 直线 AB的方程为＋ ＝ 5b b 51 1， 点 N 的坐标为b，－ b.设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标 2  2 57x117 为x1，2，则线段 NS 的中点 T 的坐标为b＋ ，－ b＋.又点 T 244  4 在直线 AB 上，且 kNSkAB＝－1，    从而有71 ＋2b 2 ＝ 5 x － 2 b 1 5bx117 4 ＋ 2 －4b＋4 ＋ b ＝1， 5b 5， 解得 b＝3.所以 a＝3 5， x2y2 故椭圆 E 的方程为45＋ 9 ＝1. x2y2 5．如图，椭圆 a2＋b2＝1ab0的左、右焦点分别为F1，F2，过 F2的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQ⊥PF1. 1若|PF1|＝2＋ 2，|PF2|＝2－ 2，求椭圆的标准方程； 2若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率 e. 解1由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝2＋ 2＋2－ 2＝4， 故 a＝2. 设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1⊥PF2， 因此 2c＝|F1F2|＝ |PF1|2＋|PF2|2 ＝2＋ 22＋2－ 22＝2 3， 即 c＝ 3，从而 b＝ a2－c2＝1. x2 2 故所求椭圆的标准方程为 4 ＋y ＝1. 2解法一连接 QF1，如图，设点 Px0，y0在椭圆上，且 PF1 2 x2y0 0 22 ⊥PF2，则a2＋b2＝1，x2 0＋y0＝c ， a 2 b2 2 求得 x0＝ca －2b ，y0＝ c . 422 ba a －2b 2＋ 2＝ 由|PF1|＝|PQ||PF2|得 x00，从而|PF1|2＝ ＋c c c  2a2－b2＋2a a2－2b2＝a＋ a2－2b22. 由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a. 从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由 PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝ 2|PF1|， 因此2＋ 2|PF1|＝4a，即2＋ 2a＋ a2－2b2＝4a， 于是2＋ 21＋ 2e2－1＝4，解得 e＝ 21 4 －1  ＝ 6－ 3. 21＋2＋ 2   解法二连接 QF1，如上图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a， |QF1|＋|QF2|＝2a.从而由 |PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－ 2|PF1|. 又由 PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝ 2|PF1|，因此，4a－2|PF1| ＝ 2|PF1|. |PF1|＝22－ 2a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－22－ 2a＝2 2 －1a. 由 PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝2c2， |PF1|2＋|PF2|2c 因此 e＝a＝＝ 2a ＝ 6－ 3. x2y2 6.已知椭圆 E a2＋b2＝1ab0的半焦距为 c，原点 O 到经过两 1 点c,0，0，b的直线的距离为2c. 2－ 22＋ 2－12＝9－6 2 1求椭圆 E 的离心率； 5 2如图，AB 是圆 Mx＋22＋y－12＝2的一条直径，若椭圆E 经过 A，B 两点，求椭圆 E 的方程． 解1过点c,0，0，b的直线方程为 bx＋cy－bc＝0，则原点 O bcbc 到该直线的距离 d＝ 22＝a ， b ＋c 1c3 由 d＝2c，得 a＝2b＝2 a2－c2，解得离心率a＝ 2 . 2解法一由1知，椭圆 E 的方程为 x2＋4y2＝4b2.① 依题意，圆心 M－2,1是线段 AB 的中点，且|AB|＝ 10. 易知，AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 y＝kx＋2＋1，代入①得 1＋4k2x2＋8k2k＋1x＋42k＋12－4b2＝0. 设 Ax1，y1，Bx2，y2， 8k2k＋1 则 x1＋x2＝－ 2 ， 1＋4k 42k＋12－4b2 x1x2＝. 2 1＋4k 8k2k＋11 由 x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得 k＝2. 1＋4k2 从而 x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝ 1 1＋22|x1－x2|   5 ＝ 2 x1＋x22－4x1x2＝ 10b2－2. 由|AB|＝ 10，得10b2－2＝ 10，