2017第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试题和答案

word 格式文档 第第 3434 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答 20172017 年年 9 9 月月 1616 日日 一、 （40 分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半 径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截 面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质 心在其平衡位置附近做微振动的频率 （1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动； （2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附 近作无滑滚动。 R 解 （1）如图，为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱 受三个力作用重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F， 方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动， 由质心运动定理得 F mgsin ma ① 式中，a是小圆柱质心运动的加速度。 由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动， 小圆柱绕其中心轴转过的角度 1 （规定小圆柱在最低点时10）与 之间的关系为 R r 1 ② 由②式得，a与的关系为  R 1 d2 1 d2 a  r 2 R r 2 ③ dtdt 考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得 d2 1rF  I④ dt2 式中，I是小圆柱绕其自身轴的转动惯量 1 I mr2⑤ 2 由①②③④⑤式及小角近似 得 sin ⑥ d22g  0⑦ dt23R  r 由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为 1g ⑧ π 6R r （2）用F表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小， 1 和 2 分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规 定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置 1  2  0） 。对于小圆柱， f  专业整理 word 格式文档 由转动定理得 1 d  Fr mr2 2 1⑨ 2dt 对于圆筒，同理有 2 d2 2FR MR 2 ⑩ dt 由⑨⑩式得 d2 1 d2 2  2 1  F   r 2  R 2 ⑪ mMdtdt  2 设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角， 由于小圆柱与圆筒间做无滑 滚动，有 R r 1  R 2 ⑫ 由⑫ 式得 d2d2 1 d2 2R r 2  r 2  R 2 ⑬ dtdtdt 设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a，由质心运动定理得 F mgsin ma ⑭ 由⑫ 式得 d2 a  R r 2 ⑮ dt 由⑪⑬⑭⑮ 式及小角近似sin  ，得 d22M mg  0⑯ dt23M m R r 由⑯ 式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为 f  12M  mg ⑰ 2π 3M  m R  r 评分参考第（1）问 20 分，①②式各 3 分，③式 2 分，④式 3 分，⑤⑥式各 2 分，⑦式 3 分，⑧ 式 2 分；第（2）问 20 分，⑨⑩⑪ 式各 2 分，⑫ 式 3 分，⑬ ⑭⑮ 式各 2 分，⑯ 式 3 分，⑰式 2 分。 二、 （40 分）星体 P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线 r  k 1cos P r B C 式中，r是 P 到太阳 S 的距离，是矢径 SP 相对于极轴 SA L2 的夹角（以逆时针方向为正） ，k  ,L是 P 相对于 GMm2 11312太阳的角动量，G  6.6710 m kgs 为引力常量， 30  S A RE D 2EL2 M 1.9910kg为太阳的质量，1 223 为 G M m 偏心率，m和E分别为 P 的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太 专业整理 word 格式文档 阳运动的轨道可近似为圆， 两轨道相交于 C、 D 两点， 如图所示。 已知地球轨道半径R E 1.491011m， 彗星轨道近日点 A 到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一， 不考虑地球和彗星之间的相互影响。 求 彗星 （1）先后两次穿过地球轨道所用的时间； （2）经过 C、D 两点时速度的大小。 已知积分公式 xdx2 3/21/2  x a 2ax aC，式中C是任意常数。 x a3 专业整理 word 格式文档 解 （1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故 1, E 0 ① 彗星绕太阳运动的轨道方程为 k ② 1cos 彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒 1 2 L2 mr V r E  0 ③ 22mr2 式中 Mm V r G ④ r 当彗星运动到近日点 A 时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为r min ，由③式得 r  L2Mm ⑤ V r min G 22mr min r min 由⑤式和题给条件得 L2R E⑥ r min 2GMm23 由③式得 dr2GML2  22dtrm r 或 dt  dr 2GML  22rm r 2 ⑦ 设彗星由近日点 A 运动到与地球轨道的交点 C 所需的时间为t，对⑦式两边积分，并利用⑥式得 t  2GML2  22rm r 对⑧式应用题给积分公式得 RE 1rdr t  RE 2GM  3 RE r  3 rmin  RE dr  1 2GM  RE RE 3 rdr ⑧ R Er  3 1  2GM 3/21/2 2 RE2RERE   RE    RE    ⑨ 3333  3 2 10 3 RE  27GM 由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为 3 220 3 R ET  2t  ⑩ 27GM 将题给数据代入⑩式得 T 6.40106s （2）彗星在运动过程中机械能守恒 专业整理 word 格式文档 1 2 GMm mv  E  0⑫ 2r 式中v是彗星离太阳的距离为r时的运行速度的大小。由⑫式有 2GM ⑬ r 当彗星经过 C、D 处时 v  r C  r D  R E ⑭ 由⑬ ⑭式得，彗星经过 C、D 两点处的速度的大小为 v C  v D  由⑮ 式和题给数据得 v C  v D  4.22104m/s⑯ 评分参考第（1）问 28 分，①式 4 分，②式 2 分，③式 4 分，④式 2 分，⑤式 4 分，⑥⑦⑧⑨⑩ ⑪式各 2 分；第（2）问 12 分，⑫式 4 分，⑬⑭⑮⑯ 式各 2 分。 2GM ⑮ R E 三、 （40 分）一质量为M的载重卡车 A 的水 平车板上载有一质量为m的重物 B，在水平直 公路上以速度v 0 做匀速直线运动， 重物与车厢 前壁间的距离为L（L0） 。 因发生紧急情况， 卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩 擦因数和最大静摩擦