最新组合数学习题答案(14章全)

第第 1 1 章章 排列与组合排列与组合 从{1,2,,50}中找一双数{a,b}，使其知足 [解解] aa ab  5 将上式分解，取得ab  5 a ab  5; b ab  5.  ab  5 a b–5，a1，2，，45 时，b＝6，7，，50。知足 ab-5 的点共 50-545 个点. a b5，a5，6，，50 时，b＝0，1，2，，45。知足 ab5 的点共 45 个点. 所以，共计 24590 个点. bb ab  5 610511454 1651141 531个点。 5 个女生，7 个男生进行排列， a 若女生在一路有多少种不同的排列 b 女生两两不相邻有多少种不同的排列 c 两男生 A 和 B 之间正好有 3 个女生的排列是多少 [解解] a a 女生在一路看成一个人，先排列，然后将女生从头排列。 （7＋1）585＝403201204838400 bb 先将男生排列有 7种方案，共有 8 个间隙，将 5 个女生插入，故需从 8 个空当选 5 个间隙，有C 8 种选择。将女生插入，有5种方案。故按乘法原理，有 7C 8 5种方案。 cc 先从 5 个女生当选 3 个女生放入 A，B 之间，有C 5 种方案，在让3 个女生排列，有 3种排列，将这 5 个人看做一个人，再与其余7 个人一块排列，有 71 8 由于 A，B 可互换，如图 **A***B** 或 **B***A** 故按乘法原理，有 3 5 5 1 2C 5 384838400（种） 1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m，n 都是正整数，若 a 男生不相邻m≤n1； b n 个女生形成一个整体； c 男生 A 和女生 B 排在一路； 别离讨论有多少种方案. m[解解] a 先将 n 个女生排列，有n种方式，共有n1 个间隙，选出m 个间隙，共有C n1 3 种方式，再插入男生，有m种方式，按乘法原理，有 mnC n1 m＝n n 1nn 1 m种方案。 mn 1 mn 1 m b n 个女生形成一个整体，看做一个人，与m 个男生做重排列，然后，n 个女生内部 再作排列，按乘法原理，有m1n种方案。 c 男生 A 和女生 B 排在一路，看做一人，和其余n-1m-1nm-2 个人一路，作排列， 共有nm-21nm-1种方式，A，B 两人内部互换，故有 2nm-1种方案。 26 个英文字母进行排列，要求x 和 y 之间有 5 个字母的排列数. 5[解解] 选入 26－2＝24 个字母当选取 5 个字母，有C 24 种方式，5 个字母内部排列，有 5 种方案，再将 X*****Y 这 7 个字母看做一个，与其余 19 个合起来作排列，共有19120 种方案，又因为 X 与 Y 可互换，故按乘法原理，有 24  24 2C 5202 5204024 ≈ 40 2 24 519e  5 24 24 又因为ln40lg lg4824lg24–lge ≈24 所以，结果为e1025＝1025 求 3000 到 8000 之间的奇整数的数量，而且没有相同的数字. [解解] 30008000 中列位不同的奇数，分类讨论 首位 3，1874（末位不能取 3） 首位 4，1875（末位全取） 首位 5，1874 首位 6，1875 2 首位 7，1874 从而，由加法原理，得 87（4＋5＋4＋5＋4）5622＝1232 个。 计算 112233nn 2233 nn n 11 参见 p14 n1 [解解] 11 试证 被 2n 除尽. [证证  k k k1 n1 n1n22n ] 2n2n2n 12nn2n 1  2n2n 1n 1n  22n  nnn 故能被2n整除。 求 1040和 2030的公因数. [解解]因为 1040240540，203022530260530,所以它们的公因数为形如 2m5n的数，其 中 0≤m≤40，0≤n≤30，故它们的公因数的数量为4013011271。 试证 n2的正除数的数量是奇数. [证证]当 n1 时，因数为 10；当 n2 时，因数为 20，21，22；当 n3 时，因数为 30，31， 32； 设n   p 1 1p22 数 可 表 示 为 lllnp n ，p 1, p2 , knp n , p n , 2 均为质数，则n   p1 1p22 2l2l2lnp n 的正除 k2p 1 k1p 2 ， 其 中 k 1,k2 , ， 所 以 n ,k n , 2 均 为 整 数 ， 且 0   k 1   2l 1,0   k2   2l 2 , 2l 1  12l 2  12l n  1 ,0   k n   2l n , 的 正 除 数 的 个 数 为 ，结果是奇数的乘积为奇数。 证明任一正整数 n 可惟一地表示成如下形式 [证证]. .1可表示性 令 M{am-1,am-2,,a2,a10aii，i1,2,,m-1}，显然Mm； 3 n   a ii,0  ai  i,i 1 i1 N{0,1,2,,m-1}，显然Nm，其中 m 是大于 n 的任意整数。 概念函数f MN fa m-1,am-2, ,a2,a1am-1m-1am-2m-1a22a11* 显然，0 0m-10m-10201 a m-1m-1am-2m-1 a22a11 m-1m-1m-2m-12211 m-1（见 P14） 即 0 fam-1,am-2,,a2,a1m-1 由于f是用普通乘法和普通加法所概念的，故从而f无歧义。从而有一肯定的数 K （0Km-1） ，使 Kfam-1,am-2,,a2,a1 为证 N 中的任一数都可表示成上边*的形式， 只要证明 f 是满射函数即可。 但由于在两 相等且有限的集合上概念的函数，满射性与单射性、双射性是等价的，故只须证明 f 是单射 函数即可。 不然，设存在某数 K0N,有am-1,am-2,,a2,a1bm-1,bm-2,,b2,b1均属于 M，使 K0fam-1