北邮概率论与数理统计离散型随机变量及其分布律2

北邮概率论与数理统计离散型北邮概率论与数理统计离散型 随机变量及其分布律随机变量及其分布律 2.22.2 2.22.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 用随机变量描述随机现象用随机变量描述随机现象 , ,通过对随机变量通过对随机变量 的概率分布的研究达到对随机现象的统计规律的概率分布的研究达到对随机现象的统计规律 性的全面把握性的全面把握. .对于一个随机变量对于一个随机变量 X 及任一个实及任一个实 数集数集 A ，， 所有的事件所有的事件{X  A}的概率的概率 P{X  A}构成了 构成了 X 的的 概率分布概率分布. .显然这种方式描述概率分布是不方便显然这种方式描述概率分布是不方便 的的, ,为此我们需要寻找描述概率分布的数学工具为此我们需要寻找描述概率分布的数学工具 . . 对于离散型随机变量对于离散型随机变量 X , ,如果知道了它取各个可如果知道了它取各个可 能值的概率，能值的概率， 那么我们可求出任一事件那么我们可求出任一事件 {X  A}的概 的概 率率 P{X  A}. .因此离散型随机变量 因此离散型随机变量, ,其概率分布可通其概率分布可通 过它取各个可能值的概率来描述过它取各个可能值的概率来描述, ,这便是下面介这便是下面介 绍的离散型随机变量的分布律绍的离散型随机变量的分布律. .一般的随机变量一般的随机变量 的概率分布的描述及连续型随机变量的概率分的概率分布的描述及连续型随机变量的概率分 布的描述将在后面两节中介绍布的描述将在后面两节中介绍. . 2.1.12.1.1 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律 定义定义 2.2.12.2.1 设设 X 是离散型随机变量，是离散型随机变量， 其所有可其所有可 能的取值为能的取值为 x ,x ,,x ,， ， X 取各个可能值的概率为取各个可能值的概率为 12i P{X  x i}  pi ,i 1,2, , , 2.2.12.2.1 称称2.2.12.2.1式为式为 X 的分布律的分布律. . 分布律常用如下的表格表示分布律常用如下的表格表示 x 1 x 2 - 2 -- 2 - X x i i P p 1 p i p 2 由概率的定义由概率的定义 , ,易得分布律易得分布律 {p } 具有如下基本具有如下基本 性质性质 11非负性非负性 pi 0 ，， i 1,2, . . . .22规范性规范性  p i1  i 1 以上两条基本性质是分布律必须具有的性质以上两条基本性质是分布律必须具有的性质 , , 也是判断某个有限或无穷数列也是判断某个有限或无穷数列 {p } 是否能成为是否能成为 i 分布律的充要条件分布律的充要条件. . 例例 1 1 掷两颗骰子，掷两颗骰子， X 表示两颗骰子的点数之表示两颗骰子的点数之 和，和， （（1 1）求）求 X 的分布律；的分布律； （（2 2）求点数之和至少为）求点数之和至少为 8 8 的概率的概率. . 解解 11 1 36 5 36 3 36 X 所所 有有 可可 能能 取取 的的 值值 为为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,122,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，并且，并且 P{X  2} 234，， P{X  3} 36 ，， P{X  4} 36 ，， P{X  5} 36 ，， 654，， P{X  7} 36 ，， P{X  8} 36 ，， P{X  9} 36 ，， 21，， P{X 11} 36 ，， P{X 12} 36 P{X  6} P{X 10} 即得即得 X 的分布律的分布律 - 3 -- 3 - X 2X 23 34 45 56 67 78 89 910 11 1210 11 12 12345654321 P P 3636363636363636363636 22 P{X 8} P{X  8} P{X  9} P{X 10} P{X 11} P{X 12} 543215  36  3636363612 例例 2 2 将将 2 2 个球随机地放入个球随机地放入 3 3 个盒子中，个盒子中， X 表示某表示某 指定的盒子中球的个数，求指定的盒子中球的个数，求 X 的分布律。的分布律。 解解 X 所有可能取的值为所有可能取的值为 0,1,2,0,1,2,并且并且 P{X  0} 4 9 4，， P{X 1} 9 ，， P{X  2} 1，， 9 即得即得 X 的分布律的分布律 2.2.22.2.2 常用的离散型分布常用的离散型分布 下面介绍几种常用的离散型分布下面介绍几种常用的离散型分布 一一..二项分布二项分布 在在 n 重伯努利试验中，设每次试验成功的概重伯努利试验中，设每次试验成功的概 率为率为 p , ,如果记如果记 X 为为 n 重伯努利试验中成功的次数重伯努利试验中成功的次数 , , 则则 X 的分布律为的分布律为 kkP{X  k} C n p 1 pnk X 0X 0 1 1 2 2 441 P P 999 , , k  0,1,,n , , - 4 -- 4 - 其中其中 p0,1 . .若记若记 q 1 p , ,则上面分布律改写为则上面分布律改写为 kknkP{X  k} C n p q , , k  0,1,,n ，， q 1 p . . . . k n 容易验证容易验证  C k0 n k n pkqnk p  qn1 由于上述分布中每个概率由于上述分布中每个概率 C 分布分布. .于是有下面定义于是有下面定义. . pk1 pnk 正好是正好是 p  qn 的二项展开式的一项的二项展开式的一项, ,因此把这个分布称为二项因此把这个分布称为二项 定义定义 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为 P{X  k} Ck n pkqnk , , k  0,1,,n , , 其中其中 p0,1 , , q 1 p , ,则称则称 X 服从参数为服从参数为 n, p 的二项的二项 分布分布, ,记为记为 X ～～ Bn, p . . 二项分布是非常重要的离散型分布之一二项分布是非常重要的离散型分布之一 , ,这个这个 分布的背景就是多重伯努利试验分布的背景就是多重伯努利试验. .对于具体的随对于具体的随 机现象机现象, ,若能归于多重伯努利试验模型若能归于多重伯努利试验模型 , ,那么表那么表 示某种结果发生次数的随机变量就服从二项分示某种结果发生次数的随机变量就服从二项分 布布. .比如比如 将一骰子掷将一骰子掷 n 次次, ,点数点数 6 6 出现的次数出现的次数 X 服从参数服从参数 1 的二项分布的二项分布, ,即即 X ～～ Bn, . .为为 （n, 1 66 N 件产品中有件产品中有 M 件次品，从中有放回地抽检件次品，从中有放回