《初二数学动点问题》专题分析

1 初二数学“动点问题”分析 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放 性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键动中求静. 数学思想分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究 手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何 图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图 形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的 数学本质。 课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这 些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意 识、推理能力等．从数学思想的层面上讲 （1）运动观点； （2）方程思想； （3）数形结合思想； （4）分类思 想； （5）转化思想等． 一、建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函 数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系 就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢 1.应用勾股定理建立函数解析式。 2.应用比例式建立函数解析式。 3.应用求图形面积的方法建立函数关系式。 二、动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分 析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ）动点问题一直是中考热 点，近几年考查探究运动中的特殊性等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角 或其三角函数、线段或面积的最值。 （一）以动态几何为主线的压轴题。 1.点动问题。 2.线动问题。3.面动问题。 （二）解决动态几何问题的常见方法有 1.特殊探路，一般推证。2.动手实践，操作确认。3.建立联系，计算说明。 （三）本大类习题的共性 1．代数、几何的高度综合（数形结合） ；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想数学结合、 分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。 三、双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多 个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作 能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题 的热点， 1.以双动点为载体，探求函数图象问题。 2.以双动点为载体，探求结论开放性问题。 3.以双动点为载体，探求存在性问题。 4.以双动点为载体，探求函数最值问题。 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信 息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关 注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。 四函数中因动点产生的相似三角形问题 五以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要 巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。 2 例 1.如图，已知在矩形 ABCD 中，AD8，CD4，点 E 从点 D 出发，沿线段 DA 以每秒 1 个单位长的速度向 点 A 方向移动，同时点 F 从点 C 出发，沿射线 CD 方向以每秒 2 个单位长的速度移动，当 B，E，F 三点共 线时，两点同时停止运动．设点 E 移动的时间为 t（秒） ． （1）求当 t 为何值时，两点同时停止运动； （2）设四边形 BCFE 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围； （3）求当 t 为何值时，以 E，F，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当 t 为何值时，∠BEC∠BFC． 例 2. 正方形ABCD边长为 4，M、N分别是BC、CD上的两个动点， 当M点在BC上运动时， 保持AM 和MN垂直， （1）证明RtRtABMMCN△∽△； （2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四 边形ABCN面积最大，并求出最大面积； （3）当M点运动到什么位置时RtRtABMAMN△∽△，求此时x的值． A B C D E F O D M A B C N 3 例 3.如图， 在梯形 ABCD 中， 354 245ADBCADDCABB∥，，，，∠． 动点M从B点出 发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动； 动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位 长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长。 （2）当MNAB∥时，求t的值． （3）试探究t为何值时，MNC△为等腰三角形． 例 4.如图，在 Rt△ AOB 中，∠AOB＝90，OA＝3cm，OB＝4cm，以点 O 为坐标原点建立坐标系，设 P、Q 分别为 AB、OB 边上的动点它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运动，速度均为 1cm/秒，设 P、Q 移动时间 为 t（0≤t≤4） （1）求 AB 的长，过点 P 做 PM⊥OA 于 M，求出 P 点的坐标（用 t 表示） （2）求△ OPQ 面积 S（cm2） ，与运动时间 t（秒）之间的函数关系 式，当 t 为何值时，S 有最大值最大是多少 （3）当 t 为何值时，△ OPQ 为直角三角形 （4）若点 P 运动速度不变，改变 Q 的运动速度，使△ OPQ 为正三 角形，求 Q 点运动的速度和此时 t 的值. y A O M Q P B x A D C B M N 4 动点问题专项训练 1．如图，在矩形ABCD中，AB2，1BC ，动点 P 从点 B 出发，沿路线BCD作匀速运动，那么 ABP△ 的面积 S 与点 P 运动的路程x之间的函数图象大致是（ ） 2．如图 a，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止．设点 P 运动的路程为 x，△ ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的