《CADCAM技术》第3章

曲线、曲面建模技术 在 CAD/CAM 系统中，经常需要向计算机输入产品的外形数据和结构参数，这些数据 往往通过计算求得， 线框造型比较适合于描述和处理二维零件的建模和数控自动编程， 线框 模型无法描述零件的表面信息。当产品结构形状比较复杂，或当表面既不是平面，也无法用 数学方法或解析方程描述 X、Y、Z 时，通常采用曲面建模的方法。曲面建模是通过对实体 的各个表面或者曲面进行描述而构成实体模型的一种建模方法， 用面来定义一个物体， 并能 精确确定物体表面上任意一个点的 X、Y、Z 坐标值。 曲面模型的描述有两种一是基于线框模型扩充的曲面模型，可以将封闭的边界定义成 一个环或有向边界，则由此封闭边界所定义的为一个面，如图 3- 1 所示。在第 2 章几何建模 技术基础中，已经给出了这种三维曲面造型（线架造型）的方法及实例，本章就不再赘述。 图 3- 1 由线框的封闭边界定义面 另一曲面模型是基于曲线、曲面的描述方法，将物体分解成组成物体的表面、边线和顶 点，用顶点、边线和表面的有限集合来表示和建立物体的计算机内部模型。建模时，先将复 杂的外表面分成若干个组成面， 然后确定出一块块的基本面素， 基本面素可以是平面或二次 曲面，例如圆柱面、圆锥面、圆环面、回转面等，通过各面素的连接构成了组成面，各组成 面的拼接就是构造的模型。如图 3- 2 所示。 图 3- 2 表面建模 74/CAD/CAM 应用技术□ 在现代产品设计中，对于具有复杂曲面外形的产品，如飞机、汽车、船舶等，需要使用 自由曲线和自由曲面来描述其几何形状， 以满足产品在流体动力性能和造型方面的要求。 而 对于一般工业和普通民用产品而言，由于市场竞争的加剧，在满足功能需要的前提下，以产 品造型为代表的非功能性因素，对消费者购买意向的影响越来越大。因此，现代产品设计比 以往更注重造型设计， 这也使自由曲线和自由曲面的应用领域更加广泛。 曲线和曲面功能是 目前大多数 CAD/CAM 系统的重要组成部分，是应用 CAD/CAM 技术进行产品造型设计的 重要手段之一。本章在概述曲线、曲面基本知识之后，重点介绍在 CAXA 制造工程师 2006 软件中各种常见曲面的构造方法和曲面的编辑。 3.1 曲线、曲面基本知识 本章研究的重点为自由曲线和自由曲面的构造。关于那些可以严格用数学方程式表达 的曲线和曲面不一一详述。 3.1.1 自由曲线 自由曲线通常指不能用直线、 圆弧和二次圆锥曲线描述， 而只能用一定数量的离散点来 描述的任意形状的曲线。在工程应用中常常是已知型值点列及其走向和连接条件，利用数 学方法构造出能完全通过或者比较接近给定型值点的曲线（曲线拟合） ，再计算出拟合曲线 上位于给定型值点之间的若干点（插值点） ，以生成相应的参数曲线。 1.曲线参数表示的过程 （1）拟合通过给定型值点构造曲线; （2）插值求给定型值点之间在曲线上的点称为曲线的插值; （3）逼近求出在几何形状上与给定型值点列的连接线相近的曲线，称为曲线的逼近。 这种曲线不必通过型值点列。 2.用参数方程表达曲线的特点 （1）与坐标系无关。用参数方程描述的自由曲线与坐标系的选取无关，若要通过一系 列的型值点拟合一条曲线，则曲线的形状取决于型值点列，而与这些点所在的坐标系无关。 （2）比非参数形式有更大的自由控制曲线的形状。如二维三次曲线的非参数表示为 yax3bx2cxd，其中只有 4 个系数可以用来控制曲线的形状;而二维三次曲线的参数表示 为 xau3bu2cud，yeu3fu2guh，其中有 8 个系数可以用来控制曲线的形状。 （3）避免出现斜率无穷大的情况。任何形体在坐标系中都有可能在某一位置上出现垂 直的切线，因而导致斜率无穷大。而利用参数方程，可对参数求导，以避免 dx0 的情况。 （4）规格化的参数变量，使相应的几何分量有界。用参数方程表示曲线时，由于参数 变量是规格化的，即 u∈［u0，u1］的闭区间内，因而所表示的曲线总是有界的，不需要另 设其他的几何数据来定义其边界。 3.1.2 自由曲面 曲面是用数学方程式以“表层”的方式来表现物体的形状。一个曲面通常含有许多的 □第 3 章 曲线、曲面建模技术/75 断面或缀面，这些熔接在一起形成一个物体的形状;另外也常在较复杂的工件上看到多曲面 结合而成的形状， 它是由曲面熔接技术来产生单一曲面的模型， 这在曲面模型的设计分析和 NC 刀具路径的制作上是非常有用的。对于此类由多个曲面熔接而成的曲面模型，通常被称 为“复合曲面” 。 用数学的方法来描述所需构造的外形曲面的过程大致为①采用插值方法严格数学定 义构造曲面特征的两组曲线，一组为纵向，另一组为横向，由这两组曲线构成的网格定义了 许多曲面片，对一个光滑表面而言，每一个曲面片一般以 4 条光滑连续的曲线作为边界。② 用二维插值法描述被网格所划分成的各个曲面片，分片描述的各曲面应保证相邻曲面片之 间的光滑连续，以组成一个完整的光滑曲面。 曲面片是以曲线为边界的点的集合，是曲面的基本单元。一个自由曲面可由一系列的 曲面片拼合而成。同自由曲线类似，自由曲面上的空间点的表示采用双参数表示，即 P（u，v）［x（u，v） ，y（u，v） ，z（u，v） ］ u，v∈［0 1］ 另外，在大多数 CAD/CAM 系统中，曲面建模支持具有严格数学定义的二次曲面，如 球面、双曲面、抛物面等，并可与自由曲面进行必要的拓扑操作。 3.1.3 曲面建模的原理与特点 在计算机内部，曲面模型的数据结构仍是表结构，除了给出边、线及顶点的信息之外， 还提供了构成三维立体各组成面素的信息，即在计算机内部，除顶点表和边表之外，还提供 了面表。 表 3- 1 即为图 3- 3 所示立方体的几何面信息， 表中记录了面号、 面上的线号及线素。 表 3- 1 立方体的面表 面号 面上的线号 线素 面号 面上的线号 线素 Ⅰ ①②③④ 4 Ⅳ ⑥⑩⑦② 4 Ⅱ ④⑧○ 12 ⑤ 4 Ⅴ ⑦○ 11 ⑧③ 4 Ⅲ ①⑥⑨⑤ 4 Ⅵ ⑨⑩○ 11○12 4 曲面建模可产生具有真实感的物体图像;可适合复杂型腔模 具的造型，但与实体建模相比，造型复杂度高，操作步骤比 较繁琐;由于增加了有关面的信息，表达了零件表面和边界 定义的数据信息，有助于对零件进行渲染等处理，有助于系 统直接提取有关面的轨迹信息生成数控加工指令，因此，大 多数 CAD/CAM 系统中都具备曲面建模的功能。 同时， 在提 供三维实体的完整性、严密性方面，曲面建模比线框建模先 进了一步，它克服了线框建模的许多缺点，能够比较完整地 定义三维立体的表面，所能描述的零件范围广，特别像汽车 图 3- 3 立方体 覆盖件、 飞机机翼等难以用简单的数学模型表达的物体， 均可以采用曲面建模的方法构造其 模型， 而且利用曲面建模在图形终端上生成逼真的彩色图像， 以便用户直观地从事产品的外 形设计， 从而避免表面形状设计的缺陷。 另外， 曲面建模可以为在其他场合应用的 CAD/CAM 提供数