“代数式求值的常用方法”专题辅导

代数式求值的常用方法 代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型， 它除了按常规代入求值外， 还 要根据其形式多样，思路多变的特点，灵活运用恰当的方法和技巧.本文结合 2006 年各地市 的中考试题，介绍几种常用的求值方法，以供参考. 一、化简代入法 化简代入法是指把字母的取值表达式或所求的代数式进行化简，然后再代入求值. 例 1 先化简，再求值  11b abba ab   ，其中 51 2 a  ， 51 2 b  . 解由 51 2 a  ， 51 2 b  得，5,1abab. ∴原式  22 5 aba abbabab ab abab abab abab abab    . 二、整体代入法 当单个字母的值不能或不用求出时， 可把已知条件作为一个整体， 代入到经过变形的待 求的代数式中去求值的一种方法. 通过整体代入，实现降次、归零、约分，快速求得其值. 例 2 已知 11 4 ab  ，则 2 227 aabb abab   的值等于（ ）. A．6 B．－6 C． 2 15 D ． 2 7  解由 11 4 ab  得， 4 ba ab   ，即 4abab  . ∴   22426 6 2272787 ababaabbababab ababababababab    .故选 A. 例 3 若 123321 5,7 xyzxyz  ，则 111 xyz  . 解把 123 5 xyz  与 321 7 xyz  两式相加得， 444 12 xyz  ， 即 111 412 xyz     ，化简得， 111 3 xyz  . 故填 3. 三、赋值求值法 赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定， 然后求出所提供的代数式的 值的一种方法.这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围. 例 4 先化简 2 332 11 x xx    ，然后选择一个你最喜欢的x的值，代入求值． 解原式   312321 111111 x xxxxxx    ． 依题意，只要1x  就行，如当2x 时，原式1． 四、倒数法 倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法. 例 5 若 2 2 237yy 的值为 1 4 ，则 2 1 461yy 的值为（ ）. A．1 B．－1 C．－ 1 7 D． 1 5 解由 2 21 2374yy   ，取倒数得， 2237 4 2 yy  ，即 2231yy . 所以  224612 2312 1 11yyyy     ，即 2 1 1 461yy   .故选 A. 五、主元代换法 所谓主元法就是把条件等式中某一个未知数（元）视为常数，解出其余未知数（主元） ，再 代入求值的一种方法. 例 6 已知 230abc ， 350abc ，则 222 222 23 22 abc abc   的值______. 解把已知条件看作关于, a b的方程组 230, 350. abc abc     解得 , 2 . ac bc      ∴   2 22 2222 22222 22 232239 1 229 222 cccabcc abcc ccc     .故填 1. 六、配方法 通过配方， 把已知条件变形成几个非负数的和的形式， 利用 “若几个非负数的的和为零， 则每个非负数都应为零”来确定字母的值，再代入求值. 例 7 若 2312abc ，且 222abcabbcca ，则 23abc____ 解由 222abcabbcca ，得 2222222220abcabbcca . 所以 222 0abbcac ，由非负数的性质得，0,0,0abbcac， 即abc.又∵2312abc，∴2abc. 原式 2322214 .故填 14. 七、数形结合法 在数学研究中，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合法是指根据题目中的 数或形的意义，利用“式结构”或“形结构”的特点及其相互转化，达到求值的一种方法. 例 8 如图 1，数轴上点A表示 2，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数 为x，求 0 22xx 的值． 解点A表示的数是 2，且点B与点A关于原点对称， ∴点B表示的数是 2 ，即 2x  ． ∴ 00 2222221 21xx     . 例 9 如 图 2 ， 一 次 函 数5yz的 图 象 经 过 点  ,P a b 和  ,Q c d ， 则  a cdb cd 的值为_________． 解由点  ,P a b 和  ,Q c d 在一次函数5yz的图象上，则 5ba ， 5dc ，即 5ab  ， 5cd  . 所以       5525a cdb cdcdab   .故填 25. 八、利用根与系数的关系 如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可以看作某个 一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值. 当所求的 代数式不是轮换对称式，可根据其特点构造对称式或利用方程根的定义综合求值. 例 10 一元二次方程 2310 xx  的两个根分别是 12 ,x x ，则 22 1212 x xx x 的值是 （ ）. Ａ．3 Ｂ．3 Ｃ． 1 3 Ｄ． 1 3  解由根与系数的关系得， 12 3xx ， 12 1x x   . 原式    22 12121212 133x xx xx xxx    .故填 3. 例 11 如果 、 是一元二次方程 231 0 xx 的两个根，那么 22 的值是 ___________ 解由根与系数的关系得，3   ；由方程根的定义得， 231 0 ，即 231 . 所以   2223 134   .故填 4. 九、特殊值法 有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊 情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式 变为特殊形式，再进行判断往往十分简单. 例12若 3 23 0123 2xaa xa xa x ，则 22 0213 aaaa 的值为_______