第02讲 极值点偏移：减法型（老师版）-极值点偏移5大类型

第02讲 极值点偏移减法型 参考答案与试题解析 一．解答题（共12小题） 1．（2021七星区校级月考）已知函数． （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且． 【解答】解（1）， 在递减， 在上恒成立， 在上恒成立， 令，， 时，，递增， 时，，递减， （1）， ； （2）由题意得（1），， ，， ，令，解得， 令，解得， 故在递增，在递减， 又（2），，， 故分别在，和有零点，，（不妨设， 时，，递减， 时，，递增， 时，，递减， 故在，和有2个极值点，， 而，，， （4），，， ，， ， 故原命题成立． 2．（2021常熟市月考）设函数，，其中． （1）若，证明当时，； （2）设，且，其中是自然对数的底数． ①证明恰有两个零点； ②设如为的极值点，为的零点，且，证明． 【解答】（1）解令， 当时，，所以在上递减， 又在，上连续， 所以当时，（1），即当时，； （2）证明①，得， 令，由， 可知在内单调递减，又（1）， 且． 故在有唯一解，从而在内有唯一解， 不妨设为，则， 当时，，所以在内单调递增； 当，时，，所以在，内单调递减， 因此是的唯一极值点． 由（1）知．从而， 又因为（1），所以在，内有唯一零点． 又在内有唯一零点1，从而在内恰有两个零点． ②由题意，，即， 从而，即． 因为当时，，又， 故， 两边取对数，得，于是， 整理得． 3．（2021黄州区校级模拟）已知函数，的导数为． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，方程有两个不同的零点，，求证． 【解答】（1）解，． 若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减． 若，则当时，，单调递增． 故当时，在上在上单调递增；在上单调递减．当时，在上单调递增． （2）证明令，则． 由（1）知，在上，单调递增． 又（1）（1），所以在上，，单调递减；在上，，单调递增． 又，，， 所以，，故． 4．（2021道里区校级二模）已知函数，为函数的导数． （1）讨论函数的单调性； （2）若当时，函数与的图象有两个交点，，，，求证． 【解答】解（1）， 设， ， 当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在，单调递减； 当时，在单调递减． （2）证明设， ，由于， 恒成立， 知函数在上为增函数且（1）， 1 0 递减 极小值 递增 （1）， ，（e）， 知在区间，以及内各有一个零点，即为，，， 知，即． 5．（2010鼓楼区校级模拟）定义域均为的奇函数与偶函数满足． （1）求函数与的解析式； （2）证明； （3）试用，，，表示与． 【解答】解（1）① ， 为奇函数，为偶函数 ， ② 由①，②解得，． （2）解法一 （法二） （3），． 同理可得，． 6．（2021光明区月考）已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当，时，函数有两个极值点，，证明． 【解答】（1）解当时，， ，， 令，可得，令，可得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）证明函数的定义域为，， 令， 因为函数有两个极值点，， 所以，是函数的两个零点， ， ，令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以，， 由，可得， 因为，所以， 所以要证，即证，只需证（2）， 因为， 所以（2）， 所以，得证． 7．（2021日照模拟）设函数． （1）若函数在上单调递增，求的值； （2）当时， ①证明函数有两个极值点，，且随着的增大而增大； ②证明． 【解答】解（1），，由题意知，恒成立， 当吋，，则单调递增，又，则当吋，， 单调递减，即不符合题意； 当时，．解得．可知，在上单调递减，在．上单调递增， ， 设（a），（a），（a）在上单调递增，在上单调递减， 所以（a）． 若，即时，，符合題意； 若，即时，，不符合題意． 綜上，． （2）证明①时，，由（1）知，，且， 当时，，当．时，，所以为极大值点， 由（1）有，则当吋，， 所以，所以当吋，， 当时，．当，时，．所以为极小值点， 所以有两个极值点， 因为，所以， 设，则， 由（1）可知，，所以，单调递增，所以随着的增大而增大，且，所以随着的增大而增大． ②由，可得， 要证，即证， 即证， 设，， ，，． 所以单调递减，所以， 所以在上单调递减， 所以， 所以命题得证． 8．（2021春丽水期中）已知函数，，． （Ⅰ）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围； （Ⅱ）若函数有3个不同的零点，，． （ⅰ）求证； （ⅱ）求证． 【解答】解（Ⅰ）解法一由题意可知，恒成立，所以， 所以，即，所以， 又，所以在，上单调递减， 故（1）， 所以的取值范围为，； 解法二由恒成立，所以对任意，恒成立， 故当时，不等式应当成立，得， 而当时，，记，， 则，得单调递减； 故（1），所以恒成立， 综上可知，的取值范围为，； 解法三由恒成立，即， 即当时，函数的图象不能出现在直线的上方， 而，故在，单调递减， 大致画出该函数的图象，不难发现，当，； 所以的取值范围为，； （Ⅱ）（ⅰ）证明由，所以， 而，令，得； 令，得， 故在单调递增，在单调递减， 而， （1），画出的草图， 容易得到，且， 设，， 即，， 所以， 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，即，因为，则， 又，所以，， 所以． （ⅱ）证明由（ⅰ）可知，当时，，当时， 故，画出草图， 设直线与在时的交点的横坐标为，，结合图象易知 ，而，， 所以． 9．（2021迎江区校级三模）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证． 【解答】（1）解的定义域为． 令，方程的判别式△， 当△，即时，恒成立， 即对任意， 所以在上单调递增． 当△，即或． ①当时，恒成立，即对任意， 所以在上单调递增． ②当时，由，解得． 所以当时，；当时，；当时，， 所以在上，， 在上， 所以函数在和上单调递增； 在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）证明 由，可得， 得，因此， 因为， 令，则， 所以，所以， 要证明，只需证， 即证， 由（1）可知，时，在上是增函数， 所以当，（1），而（1），因此成立， 所以． 10．（2021浙江月考）已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若方程有两个不同实根，，证明． 【解答】解（1）， （1），（1）， 切线方程为． （2）由（1）得， 又，，且在上单调递增， 所以有唯一实根， 当时，，递减， 当，