传染病问题中的SIR模型

1 假假设设1.1.信信息息具具有有足足够够的的吸吸引引力力，，所所有有人人都都感感兴兴趣趣，， 并并传传播播。。 2.2.人人们们对对信信息息在在一一定定时时间间内内会会失失去去兴兴趣趣。。 传传染染病病问问题题中中的的 SIRSIR 模模型型 摘要摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期 以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探 索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析 各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI 模型，SIS 模型，SIR 模型等。在这里我采用 SIR（Susceptibles，Infectives，Recovered）模型来研究 如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由 Kermack 与 McKendrick 在 1927 年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病 发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控 制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。 关键字关键字传染病；动力学；SIR 模型。 一﹑模型假设一﹑模型假设 1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因 素。总人口数 Nt不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类易感染者 Susceptibles，其数量比例记为 st，表示 t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数 占总人数的比例；感染病者Infectives，其数量比例记为it，表示t 时刻已被感染成为 病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者Recovered，其数量比例记为 rt， 表示 t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有 传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。 ）占总人数的比例。 2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每 天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触 数为σλ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设 有效接触率传染力是不变的。 二﹑模型构成二﹑模型构成 在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下 s λsi i μi r 1 2 在假设 1 中显然有 st it rt 1（1） 对于病愈免疫的移出者的数量应为 N d rNi（2） d t 不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为s 0 （s 0 ＞0） ，i 0 （i 0 ＞0） ， r00. SIR 基础模型用微分方程组表示如下 di dt sii  ds   si（3） dt dr dt i  st ， it的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计 st ， it的一般变化规 律。 三﹑数值计算 在方程（3）中设λ1，μ0.3，i（0） 0.02，s（0）0.98，用 MATLAB软件编程 function yillt,x a1;b0.3; y[a*x1*x2-b*x1;-a*x1*x2]; ts050; x0[0.02,0.98]; [t,x]ode45ill,ts,x0; plott,x,1,t,x,2 pause plotx,2,x,1 输出的简明计算结果列入表 1。it , st的图形以下两个图形，is 图形称为相轨线,初 值 i00.02,s00.98 相当于图 2 中的 P0 点,随着 t 的增,s,i沿轨线自右向左运动.由表 1、 图 1、 图 2 可以看出,it由初值增长至约 t7 时达到最大值,然后减少,t→∞,i→0,st则单调减 少,t→∞,s→0.0398. 并分析 it,st的一般变化规律. t it 012345678 0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247 2 3 st t it st 0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027 91015202530354045 00.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.0001 0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398 3 1 表 1it,st的数值计算结果 四﹑相轨线分析四﹑相轨线分析 我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解 i（t）,s（t）的性质。 i s 平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（s，i）∈D 为 D ｛ （s，i）|s≥0，i≥0 ， s i ≤1｝（4） 在方程（3）中消去d t 并注意到σ的定义，可得 d i  1    1，i| ss0 i0 （5） d s sσ  1  1d s 所以d i   sσ  1  d 1d s （6） i0 i  s0  sσ  is 利用积分特性容易求出方程5的解为i  s 0 i 0 s  1  ln s （7） s 0 在定义域 D 内,6式表示的曲线即为相轨线,如图 3 所示.其中箭头表示了随着时间 t 的 增加 st和 it的变化趋向. 1 2 i D P 2 i m P 1 i  o s  1/  s 下面根据3,17式和图 9 分析 st,it和 rt的变化情况t→∞时它们的极限值分别记作 s  ,i  和r  。 1.不论初始条件 s0,i0 如何,病人消失将消失,即i 0  0（8） 其证明如下 首先,由3 d s dr  0而st  0故s  存在;由2 0而rt 1故r  存 d t d t 在;再由1知i  存在。 dr , 这将导致r   ，与r  存在相 d t 2 其次,若i   0则由1,对于充分大的 t 有 矛盾.从图形上看,不论相轨线从 P1 或从 P2 点出发,它终将与 s 轴相交t 充分大. 2.最终未被感染的健康者的比例是s  ,在7式中令 i0 得到,s  是方程 1s  0（9） s 0 s 0 i 0 s    ln 在0,1/σ内的根.在图形上s  是相轨线与 s 轴在0,1/σ内交点的横坐标. d i  1 d  1    1 o，it先增加, 令i