2024年人教版初中数学七年级下册 -实数的运算-1教案

教 案 教学基本信息 课题 实数的运算 学科 数学 学段 初中 年级 初一 教材 书名数学 七年级下册 出版社人民教育出版社 出版日期 教学目标及教学重、难点 本节课涉及到的知识要素是有理数运算律，实数运算法则，圆周率，数轴等，主要是类比有理数运算法则扩充实数运算法则，体现出特殊到一般的思想方法，在课程中主要培养用有理数估计无理数大小的能力，共设计2个探究活动. 教学目标 1. 知道实数与数轴上的点的一一对应关系. 2. 会求实数的相反数、绝对值. 3. 知道有理数的运算法则及运算性质在实数范围内仍然适用，并会进行一些简单实数运算. 4. 体会数的范围扩充后，概念、运算等的一致性以及它们的发展变化. 教学重难点 重点会求实数的相反数、绝对值，并会进行一些简单的实数运算. 难点理解实数与数轴上的点一一对应关系. 教学过程表格描述 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习引入 探究新知 引言在上一节课,我们类比有理数的分类学习了实数的分类，实际上与有理数有关的知识还有不少，比如有理数与数轴的关系、有理数的大小比较、有理数的相反数和绝对值、有理数的运算及运算律。由于数的范围已经从有理数扩充到实数了，自然，我们也想知道这些有理数的知识也能扩充到实数范围内吗它们之间有什么区别和联系呢 本节课我们就带着这些思考，一起来研究实数与数轴的关系、实数的大小比较、实数的相反数和绝对值、实数的运算及运算律. 一、 实数与数轴的关系 思考问题1有理数可以用数轴上的点表示；那么无理数可以用数轴上的点表示吗 解说我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，但无理数是无限不循环小数，它们存在于数轴上吗如果存在，怎么才能在数轴上准确找到表示无理数的点呢 带着这个问题我们来进行两个探究活动 探究活动1把直径为1个单位长度的圆放在数轴上从原点向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点对应的数是多少 计算推理 已知这个圆向右滚动一周，这个圆的直径为单位长度1，所以根据圆周长公式，得到, 即圆的周长就是无理数. 我们还可以从想象一下圆的滚动过程 第一步剪断 第二步拉直 第三步化曲为直 而线段的长度就是圆的周长，所以点对应的数就是，即无理数π可以用数轴上的点表示. 探究活动2那么与能在数轴上表示吗 我们还得借助之前的学习经验单位长度为1的正方形对角线长是 操作将这个正方形一个顶点与原点重合，一个边长与数轴重合上，画出其对角线，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就是. 所以无理数可以用数轴上的点表示. 总结事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来. 当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 二、 实数比大小 思考问题2实数如何比较大小 总结与规定的有理数大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. 三、 实数有没有绝对值与相反数 思考问题3讨论一下当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗 思考你能解答下列问题吗 （1）的相反数是______， 的相反数是____， 0 的相反数是______； 2______，______，______. 总结 数的相反数是，这里表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设表示一个实数，则 有理数关于相反数与绝对值的意义同样适合于实数. 四、 实数的运算 思考问题4实数之间可以进行加减乘除乘方运算吗 总结 可以，而且正实数和0还可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算；在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用. 注意今后我们还会学到随着数的进一步扩充，负数将可以进行开方运算. 通过复习学习实数的方法，提出思考问题，引人新学内容。 点明学习内容 学生对无理数的存在有不少困惑，抛出这个问题可以激发学生的探究愿望. 数形结合考虑问题 通过2个探究活动得出实数与数轴上的点一一对应。 这个问题与有理数知识一致. 有理数与数轴上的点不是一一对应的，而实数与数轴上的点是一对应的，这一事实的重要意义在于在实数范围内可以更好建立起数与形的联系，并利用这种联系研究和解决问题. 注意突出在数的扩充中有理数与实数体现出一致性，并且可以解决更多的问题了. 精讲环节 典型例题（应用新知，巩固提高） 例题1 实数-3，x,3，y 在数轴上的对应点分别为M ，N，P，Q，这四个数中绝对值最大的数对应的点是＿＿ 分析仔细观察这些点在数轴上的位置，根据绝对值的意义，一个点到原点的距离越远，它的绝对值就越大，这道题中Q点离原点最远，所以它的绝对值最大，答案是Q点. 例题2 （1）分别写出，的相反数； （2）指出，是什么数的相反数； （3）求的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是,求这个数． 解1、的相反数是、； （2） 、是、的相反数； （3）的绝对值是4； （4） 绝对值是的数是或 ． 注意要区分每个题的不同问法，合理理解符号的含义. 例题3 求下列各数的相反数与绝对值 2.5 0 相反数 绝对值 分析，由于数比较多，我们先列表整理，再观察求值， 第一个数是2.5，正实数，相反数是-2.5,绝对值是2.5； 第二个数是，负实数，相反数是, 绝对值是；第三个数是，负实数，相反数是正, 绝对值是；第四个数是，正实数，相反数是, 绝对值是；第五个数是0，相反数与绝对值都是它本身0. 例题4 计算下列各式的值 （1） 解 原式 依据加法交换律 （2） 解 原式 依据分配律 例题5 计算（结果保留小数点后两位） （1） （2） 分析在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似有限小数去替代无理数，再进行计算. 解1原式 2原式 小结对于实数的运算，可强调两点，一是有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍然成立；二是涉及无理数的近似计算，可以取近似值转化为有理数进行计算. 下面我