相互似三角形六大证明技巧窍门

第第 2 2 讲讲 模块一 相似三角形相似三角形 6 6 大证明技巧大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结相似三角形的判定方法总结 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. SAS 4. 两角分别相等的两个三角形相似.AA 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似HL 相似三角形的模型方法总结相似三角形的模型方法总结 “反“反 A A”型与“反”型与“反 X X”型”型. . 示意图 A E C D B B A O DC 结论 反反 A A 型型 如图，已知△ABC，∠ADE∠C，则△ADE∽ ACADAB.△ACB（AA） ，∴AE BE，若连 CD、进而能证明△ACD∽△ABESAS 反反 X X 型型 如图，已知角∠BAO∠CDO，则△AOB∽△DOC OCODOB. 若连 AD，BC，进而能（AA） ，∴OA 证明△AOD∽△BOC. “类射影”与射影模型“类射影”与射影模型 示意图结论 类射影类射影 如图，已知△ABC，∠ABD∠C，则△ABD∽ AC.△ACB（AA） ，∴ AB2 AD A D CB C 射影定理射影定理 如图，已知∠ACB90，CH⊥AB 于 H，则 AC2 AH  AB,BC2 BH BA,HC2 HAHB A H B “旋转相似”与“一线三等角”“旋转相似”与“一线三等角” 示意图 A E B D C E 结论 旋转相似旋转相似 如图，已知△ABC∽△ADE，则 ABAD ， ACAE ∠BAC∠DAE，∴∠BAD∠CAE， ∴△BAD∽△CAE（SAS） D 一线三等角一线三等角 如图，已知∠A∠C∠DBE，则△DAB∽△BCE （AA） A B C 巩固练习 反 A 型与反 X 型 已知△ABC 中，∠AEF∠ACB，求证 （1） AE AB  AF  AC （2）∠BEO∠CFO， ∠ EBO∠FCO（3）∠OEF∠OBC，∠OFE∠OCB A E O F C B 类射影 如图，已知AB2 AC AD，求证 BDAB  BCAC A D C 射影定理 已知△ABC，∠ACB90，CH⊥AB 于 H，求证AC2 AH  AB，BC2 BH BA， HC2 HAHB B 14 模块二比例式的证明方法 通过前面的学习， 我们知道， 比例线段的证明， 离不开 “平行线模型” （A 型， X 型， 线束型） ， 也离不开上述的 6 种“相似模型”. 但是，王老师认为， “模型”只是工具，怎样选择工具， 怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为 解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一三点定型法 技巧二等线段代换 技巧三等比代换 技巧四等积代换 技巧五证等量先证等比 技巧六几何计算 技巧一三点定型技巧一三点定型 【例1】 如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交 BC 于F，求证 DCCF ．  AEAD D F A B C E 【例2】 如图，△ABC中，BAC 90，M为 BC 的中点，DM  BC交CA的延长线于 D，交AB于E．求证AM2 MDME D A E B M C 【例3】如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC 上的高，ABC的平分线BE交AC于E， 交AD于F．求证 BFAB ． BEBC A E B F D C 技巧二等线段代换技巧二等线段代换 悄悄地替换比例式中的某条线段 【例4】如图，在△ ABC，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线交 AD 于 E，交BC 的延长线于 F，求证FD2 FBFC A E BF DC 【例5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F， ECAD．求证ACBE CEAD ． D F C E AB 【例6】如图， △ ACB 为等腰直角三角形， ABAC，∠BAC90，∠DAE45，求证 AB2 BECD A B DE C 【例7】如图，△ABC中，AB  AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB， 延长BP交AC于E，交CF于F．求证BP2 PEPF． A E P B D C F 16 技巧三等比代换技巧三等比代换 【例8】如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O，E、交CD的延长线 于F，求证OB2OEOF． F A O B C E D 【例9】如图，在△ABC中，已知A90时，AD  BC于D，E为直角边AC的中点， 过D、E作直线交AB的延长线于F．求证AB AF  ACDF． A E B D C F 【例10】 如图，在△ABC中（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使 AD  AE，直线DE和BC的延长线交于点P．求证BPCE  CPBD A D B E C P 技巧四等积代换技巧四等积代换 【例11】 如图，△ABC中，BD、CE是高，EH  BC于H、交BD于G、交CA的延长 线于M．求证HE2 HGMH． M A E G B H D C 【例12】 如图，在△ABC中，AD BC于D，DE  AB于E，DF  AC于F，连 EF， 求证∠AEF∠C A E F B D C 【例13】 如图，在△ABC中，BAC 90，D为AC中点，AE  BD，E为垂足，求证 CBD ECD． A D E CB 【例14】 在 Rt△ ABC 中，AD⊥BC，P 为 AD 中点，MN⊥BC，求证MN2 AN  NC A N P C B DM 18 技巧五证等量先证等比技巧五证等量先证等比 【例15】 已知，平行四边形 ABCD 中，E、F 分别在直线 AD、CD 上，EF//AC，BE、BF 分别交 AC 于 M、N.，求证AMCN. A M E F N D BC 【例16】 已知如图 ABAC，BD//AC，AB//CE，过 A 点的直线分别交 BD、CE 于 D、E. 求 证AMNC，MN//DE. E A D N M B C 【例17】 如图，△ABC 为等腰直角三角形，点 P 为 AB 上任意一点，PF⊥BC，PE⊥AC， AF 交 PE 于 N，BE 交 PF 于 M.，求证PMPN，MN//AB. A E NP M C F B 【例18】 如图，正方形 BFDE 内接于△ABC，CE 与 DF 交于点 N，AF 交 ED 于点 M，CE 与 AF 交于点 P. 求证 （1）MN//AC； （2）EMDN. A M P D N E B F C 【例19】 （※）设 E、F 分别为 AC、AB 的中点，D 为 BC