生活中的概率讲座设计

生活中的概率 在开始本节课之前，咱们先穿越到 1654 年，当时有两个贵族默勒 （A）和他的朋友（B）进行了一场赌局，赌注是每人500 法郎。两人 轮流掷硬币，得到正面则A 得一分，反面则B 得一分，每一局两人得 分的机会相等， 谁想得到六分谁就得到 1000 法郎。 结果当比分到 24 的时候， 贵族 B 有急事要终止赌局， 那么赌注应该如何分配才最公平， 于是， 其中一个贵族默勒向他的朋友， 当时著名的数学家帕斯卡请教。 这场赌局引起的矛盾，也引起了帕斯卡的兴趣，帕斯卡又和他的朋友 费马讨教，费马认为不能单靠赌注停止时的比分来决定分配， 而是应 该考虑所有比赛的可能性中双方获得的比例， 但是列举所有的可能性 的计算量非常大，帕斯卡继而提出了一个简化运算， 在两人相互讨论 的时候，他们又独自用自己的方法解决了这个问题， 完美的解决了关 于这次赌局的分配，于是， 这一场并不光彩的赌局，却带了一门学科 的诞生。它就是咱们今天要讨论的“概率” 在日常生活中，无论是股市的涨跌，还是发生某类事故，但凡捉 摸不定，需要用“运气”来解释的事件，都可以用概率模型进行定量 分析，不确定性既给人们带来许多麻烦， 同时又常常是解决问题的一 种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到事故发生率，在种植农作 物时我们要提前试验种子的发芽率， 在工厂生产的产品中，通过抽查 部分产品来计算合格率等等，因此在生产生活中处处离不开概率。 我们所遇到的事件，有些事件在一定条件下必然发生，例如在， 1 在标准大气压下，水加热到 100 摄氏度时必然沸腾；抛掷一块石头， 它必然会下落；地球绕着太阳转，月亮绕着地球转。这种在一定条件 下必然发生的事件叫作必然事件。 有些事件在一定条件下必然不会发 生；例如在标准大气压下 60 摄氏度时水会沸腾；某人骑自行车的速 度能赶上宇宙的速度，这种在一定条件下不可能发生的事件， 叫作不 可能事件。 必然事件和不可能事件统称为确定性事件。 另外， 还有有一些事件在一定的条件下可能发生， 也可能不发生， 例如抛掷一枚硬币可能正面向上， 也有可能反面向上；一粒种子在一 定条件下可能发芽，也有可能不发芽；你购买的本期彩票可能中奖， 也有可能不中奖； 像这种在一定的条件下可能发生也可能不发生的事 件，叫作随机事件（也叫偶然事件） 。 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在相同 条件下， 进行大量的重复试验时， 随机事件的发生往往有一些规律性， 既事件发生的百分率和某个常数接近， 试验的次数越多，越接近于某 个数。在进行大量重复的同一试验时， 事件 A 发生的频率 m/n 总是接 近于某个常数， 在它附近摆动， 这时就把这个常数叫作事件 A 的概率， 记作 PA. 比如咱们所熟悉的打麻将中所用到的骰子，每当春节假期，亲朋 好友相聚时，大家伙免不了要坐在一起打麻将，这个时候，骰子就会 派上用场，我们会根据骰子正面向上时的点数来确定以下的牌局， 这 里面的骰子在抛掷后每一面落地后的点数向上的可能性是一样的， 每 2 一面向上的概率都是1/6.这个概率数也是经过大量的试验来确定的， 在大量的试验中，发现每一面向上的比率都接近 1/6，所以就把 1/6 作为骰子每一面向上的概率。 再有，在种植农作物时，要看看种子的发芽率，一般都是要用很 多种子来试验，没有说用一粒或几粒甚至十几粒种子来做试验， 进而 判定种子发芽率的。 由于在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 总是小于或等于试 验的次数 n，既 0≤m≤n, ,所以，对任意事件 A，它的概率满足 0≤ PA≤1，在每次试验中，必然事件一定发生，说明它的频率为 1， 不可能事件一定不会发生，这说明它的频率为 0.。因此，必然事件 的概率为 1，不可能事件的概率为0.随机事件的概率 0＜PA＜1.那 么这个数对于概率来讲有什么意义呢 概率从数量上反映了一个事 件发生的可能性的大小，概率越接近1，说明发生的可能性越大，概 率越接近 0，说明发生的可能性越小。 刚刚咱们共同学习了一些概率的理论知识，对于咱们生产生活中 随时遇到的随机事件，如流言的传播，传染病的爆发，还有微博，微 信等内容的转发（经常在微信群里面有让转发几个群的内容） 都是概 率的一种变相应用过程。当然概率的应用还远远不止这些， 大致飞机 实施搜查，小至垃圾邮件过滤，都能在其中找到概率的身影，这个复 杂的世界充满了不确定性，有些无伤大雅，有的却能致命。 要驾驭这些不确定性，就要从了解它们开始，这就是学习概率的 意义，学习概率不能为我们带来一个没有风险的世界， 但它却能教会 3 我们如何与风险和平共处，它带来的仅仅是关于不确定的知识， 但知 识，往往就是力量。所以，同学们，咱们没有理由不去学习知识，因 为大家都希望自己的生活过得更顺畅。 就拿咱们今天所讨论的概率来说，大家最熟悉的考试，试卷中一 般都会有单项选择题，当你不会的时候，我想同学们应该不会让这个 题空着的，都会随便选一个选项，心里想随便选一个，答对的几率还 是 25呢，事实上，咱们这里的 25，就是一个概率的问题，根据咱 们刚刚学习的概率知识， 在这里 n4,m1,所以 PA1/4,也就是等于 咱们所说的 25。 在概率的应用中，大家熟悉的抓阄问题，在生活中，人们经常会 用抓阄的方法来决定一件事情， 那么在抓阄的过场中肯定有先抓后抓 的顺序，是不是先抓的人机会比较大呢， 这对大家公平吗下面咱们 就来研究一下， 从概率的角度来说明抓阄次序是否会影响抓阄的结果。 下面咱们先看一个例子 例如，现在有一张去科学宫的参观券，小明、小华、小彬3 个同 学都想去，为了公平，可以做3 个阄，其中一个阄做上标记，谁抓中 做了标记的阄即可得到去科学宫的参观券。 可他们 3 人认为最后抓阄 的人没有任何选择的余地，认为抓阄对后抓的人不利， 都不愿意最后 抓阄。他们的想法正确吗 不妨依小华、小彬、小明的顺序抓阄，小华抓中有标记阄的可能 性是 ，抓不中的可能性是，可用图 1 表示。只有在小华抓不中的 情况下，小彬才有可能抓得有标记的阄， 而且这时他抓得有标记的阄 4 1 3 2 3 的可能是 50，因此，小彬抓得有标记的阄的可能性是这可能性下 的，即  。同样， 小明得到有标记的阄的可能性也是 ，如图 2。 21111 33333 1 2 21 32 1 3 1 3 2 3 小华得 小华得不到 到有标 有标记的阄 记的阄 小华得 小彬得 小明得 到有标 到有标 到有标 记的阄 记的阄 记的阄 图 1图 2 可见，3 个人抓阄，抓中有标记的阄的可能性与抓阄的顺序并无 关系，那 n 个人抓阄呢有兴趣的同学可以通过模拟试验感受一下， 也可以仿照上面的思路分析分析。 （列举自己或身边的人亲身体会或 经历的关于抓阄的例子） 在大家逛街的时候经常见到福彩和体彩的小店， 在令人心动的彩 票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。据统计，全国100 人中就 有 3 个彩民， 通过对北京、 上海、 广州 3 个城市居民调查的结果显示， 有 50的居民买过彩票，其中 5的居民成为“职业”彩民， “以小博 大