数学建模自习室管理

一．问题重述一．问题重述 近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习 的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的 教室比较多，这要求提供一种最节约、最合理的管理方法。根据题目所给出的数据，有以下问题。 数据见表。 1．假如学校有 8000 名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为 0.7.要使需要上 自习的同学满足程度不低于 95，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90。问该安 排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。 2．在第一问基础上， 假设这 8000 名同学分别住在 10 个宿舍区， 现有的 45 个教室分为 9 个自习区， 按顺序 5 个教室为 1 个区，即 1,2,3,4,5 为第 1 区，，41,42,43,44,45 为第 9 区。这 10 个 宿舍区到 9 个自习区的距离见表 2。 学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系， 距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自 习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到 节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。 3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自 习的同学满足程度不低于 99，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95。这时可能 出现教室不能满足需要， 需要临时搭建几个教室。 假设现有的 45 个教室仍按问题 2 中要求分为 9 个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格 相同（所有参数相同） ，学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建 几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。 表格见附录 1。 需要研究的问题需要研究的问题 1．统计出上自习的人数和所需要的座位数 2．把节约用电作为问题一的约束条件求解 3．根据宿舍区到自习区的距离（附录 1 表 2）构造学生上自习满意程度的函数 4．在解决问题一的基础上，同时考虑节约用电和满意程度配置开放自习教室，进行多目标规 划。 5．改变约束条件，重新计算上自习人数和所需要的座位数 6．考虑搭建若干个教室提供足够座位给期末时上自习人数，同时兼顾提高满意度和节约用电 的要求 二．模型设计和求解二．模型设计和求解 （一）（一） ．模型假设．模型假设 1． 每个同学上自习相互独立，且概率相同 2． 每个同学随机选择自习教室，不受距离、楼层等因素的干扰 3． 计算过程中，座位数和教室数满足整数的要求 4． 满意度只与学生区到自习区的距离有关 5． 情况 1学生人数共 8000 人， 学生区不对总人数进行平均分配即不考虑 10 个学生区人 数的居住分配情况 情况 210 个学生区，每个区域平均配置即居住有学生 800 名 6． 问题 3 中在未搭建临时教室之前 10 个学生区中没有座位的人数相同 7． 若某教室开放，则此教室所有灯管全部打开 8． 不考虑搭建临时教室的成本问题 （二）（二） ．符号说明．符号说明 符号符号 n 含义含义 样本容量 上自习事件的概率分布 为 0 或 1，分别表示第 i 号自习教室关闭或开放 k上自习的可能人数 为第i号教室单盏灯管消耗功率（瓦/每只） 为第i号教室所含灯管数 为第i号教室消耗总功率 为第i号教室拥有座位数i 1,2,.45 r a，b 所需座位数 满意度函数所用系数 从 i 学生区到 j 自习区的满意度 从 i 学生区到 j 自习区的人数 从 i 学生区到 j 自习区的距离 第j号自习区提供的座位数 可在第j号自习区的上自习人数上限 目标函数的加权系数1 Ai设宿舍区依次为 A1,A2,,A10 Bi自习区为 B1,B2,,B9 与第k号教室规格相同的搭建教室 的选择变量k 1,2,.,45 （三）（三） ．解．解 题题思思路路及及 过程过程 问问 题题 1 1 基 于 题目情况， 根据题目 q 所有教室总座位数 所有教室总的最小功率 总的最大满意度 所给的表格，运用概率统计的相关知识，分析和计算学生上自习的人数以及所需要的座位数目。然 后根据节约用电的原则，把耗电最小作为教室选择的约束条件，得到结果。具体步骤如下 （（1 1）） ．计算所需座位数．计算所需座位数 此问题符合概率统计中的二项分布。 由于样本值较大， 则可以用正态分布对二项分布进行近似计算。 应用 “棣莫弗一拉普拉斯 De Moivre- Laplace定理”进行样本计算。 将满足程度不低于 95％理解为上自习得同学有 95％都有自 习座位坐。即每个上自习人能够正常上自习的概率为 0.95。由此可以计算出上自习所需座位数。 再由开放教室的满座率求得座位数的上限和下限。 计算过程 样本容量 n8000, 所需座位数为 r 1，上自习 有X i  i1,2,8000 0，不上自习  X   X i 表示上自习的人数，X B8000,0.7。要使得 i1 8000 由棣莫弗一拉普拉斯 De Moivre- Laplace中心极限定理，有 查正态分布表得， r 5600 1.64 1680 解得r 5667.25668 由满座率介于 80％至 90％之间，求得座位上限56680.8 7085 座位下限56680.9  6298 由所有教室总座位数q   h i  6884，所以座位上限是虚约束。 i1 45 （（2 2）） ．优化选择教室．优化选择教室 方法一方法一 由于教室的选择只有两种方式选择与不选择。顾此部分采用 0，1 整数规划方法。 0,不选择该教室 z i 为抉择变量，有zi i 1,2,.45 1， 选择该教室 设目标函数f  minc i z i ，即开放教室用电总功率的最小值。 i 45 构造约束条件6298 h i z i  7085 i 45 由 Lingo 软件实现（见附录 2） 。 得到结果开放 2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，13，14，17，18，19，20，21，22，23，24， 25，26，27，28，29，30，31，32，34，35，36，37，38，39，40，41，42，43 号自习教室； 关闭 1，11，15，16，33，44，45 号自习教室。 由题目所提供表 1 确定共提供座位 6301 个，消耗总功率为 80577 瓦。 方法二方法二 方法二采用穷举法。顾名思义，穷举法就是把所有的可能情况一一列出来，进行验算。穷举法 用时间上的牺牲换来了解的全面性保证， 尤其是随着计算机运算速度的飞速发展， 穷举法的形象已 经不再是最低等和原始的无奈之举。此题，可以通过穷举法进行计算。 根据题意，要使自习教室提供的座位在 6298 到 7085 之间，则设变量z i 设单行矩阵 Zz i  c 1 