数学二次函数的专项培优练习题及答案

一、二次函数一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200 元时，房间可以 住满．当每个房间每天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房 间，宾馆需对每个房间每天支出20 元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x 元．求 （1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于 x（元）的函数关系式； （3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于 x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为 每天多少元时，w 有最大值最大值是多少 11x ；（2）z-x240 x12000；（3）w-x242x10800，当每个房 101010 间的定价为每天 410 元时，w 有最大值，且最大值是15210 元． 【解析】 【答案】（1）y60- 试题分析（1）根据题意可得房间每天的入住量60 个房间﹣每个房间每天的定价增加的 钱数10； （2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200x）元．则宾馆每天的房间收费每天的实 际定价房间每天的入住量； xxx ），则利润 w（200x）（60﹣）﹣20（60﹣）， 101010 利用配方法化简可求最大值． 试题解析解（1）由题意得 （3）支出费用为 20（60﹣ y60﹣ x 10 x1 2x 40 x12000）﹣ 1010 xx ）﹣20（60﹣） 1010 （2）p（200x）（60﹣ （3）w（200x）（60﹣ ﹣ ﹣ 1 2x 42x10800 10 1 （x﹣210）215210 10 当 x210 时，w 有最大值． 此时，x200410，就是说，当每个房间的定价为每天410 元时，w 有最大值，且最大值是 15210 元． 点睛求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方 法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般． 2．如图，过A1,0、B3,0作 x 轴的垂线，分别交直线y  4x于 C、D 两点 . 抛物线 y  ax2bx c经过 O、C、D 三点． 1求抛物线的表达式； 2点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样 的点 M，使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形若存在，求此时点M 的横 坐标；若不存在，请说明理由； 3若 AOC 沿 CD 方向平移点 C 在线段 CD 上，且不与点 D 重合，在平移的过程中 AOC与OBD重叠部分的面积记为 S，试求 S 的最大值． 【答案】（1）y   【解析】 【分析】 4 2 133 33 233 2 1 x x；（2） 或或；（3）． 3323 22 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）由题意，可知 MN∥ AC，因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有 MNAC3．设点 M 的横坐标为 x，则求出 MN| 的值，即点 M 横坐标的值； （3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S 的表达式S  1）2；当 t1 时，s 有最大值为 【详解】 （1）由题意，可得 C（1，3），D（3，1）． 4 2 4 x ﹣4x|；解方程|x2﹣4x|3，求出 x 33 1 （t﹣ 6 1 3 1 ． 3 4a    ab  3 3 2 ∵ 抛物线过原点，∴ 设抛物线的解析式为yax bx，∴，解得， 139a3b 1 b   3 ∴ 抛物线的表达式为y  4 2 13 xx． 33 （2）存在． 设直线 OD 解析式为 ykx，将 D（3，1）代入，求得 k 设点 M 的横坐标为 x，则 M（x， （ 11 ，∴ 直线 OD 解析式为 yx． 33 14131 x），N（x，x2x），∴ MN|yM﹣yN||x﹣ 3333 4 2 134 xx）||x2﹣4x|． 333 4 2x ﹣4x|3． 3 由题意，可知 MN∥ AC，因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有 MNAC3，∴ | 若 若 4 2 33 233 2 x ﹣4x3，整理得4x2﹣12x﹣90，解得x或 x； 3 22 4 2 3 x ﹣4x﹣3，整理得4x2﹣12x90，解得x，∴ 存在满足条件的点 M，点 M 的 32 3 33 233 2 或或． 2 22 横坐标为 （3）∵ C（1，3），D（3，1），∴ 易得直线 OC 的解析式为 y3x，直线 OD 的解析式为 y 1 x． 3 如解答图所示，设平移中的三角形为△ AOC，点 C在线段 CD 上． 设 OC与 x 轴交于点 E，与直线 OD 交于点 P； 设 AC与 x 轴交于点 F，与直线 OD 交于点 Q． 设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中 AFt，F（1t，0），Q（1t， C（1t，3﹣t）． 设直线 OC的解析式为 y3xb，将 C（1t，3﹣t）代入得b﹣4t，∴ 直线 OC的解析式 为 y3x﹣4t，∴ E（ 联立 y3x﹣4t 与 y 11  t）， 33 4 t，0）． 3 1331 x，解得xt，∴ P（t，t）． 3222 111 t，∴ SS△ OFQ﹣S△ OEPOFFQOEPG 222 过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G，则 PG  111141 （1t）（  t）t t 233232 11   （t﹣1）2 63 当 t1 时，S 有最大值为 11 ，∴ S 的最大值为． 33 【点睛】 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点 的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问 中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MNAC3，由此列出方程求解；第（3）问 中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法． 3．对于二次函数 yax2（b1）x（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 xx0，函数 yx0，则 称 x0为该函数的“不变值”. （1）当 a1，b﹣2 时，求该函数的“不变值”； （2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两 点关于直线 ykx-2a3对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）00，把 b2- 4ab4a 看作 b 的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab4a0 成立，则（4a）2-4.4a0，即 b2-4ab4a0，而对任意实数 b，b2-4ab4a0 成立，所以（4a）2-4