数学建模习题

数学建模与数学实验课程练习数学建模与数学实验课程练习 练习集锦练习集锦 1 1 简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。 2 2简述数学模型及数学建模的特点。简述数学模型及数学建模的特点。 3 3 简述数学建模的常用分类方法。简述数学建模的常用分类方法。 x 4 4 4 求方程求方程fx   0.25  2 x  1 / 6  0.5  6 0的模最大的根的近似值的模最大的根的近似值 （精（精 x 确到小数点后两位）确到小数点后两位） 。。 5 5 在抢渡长江模型中，如果水流速度在抢渡长江模型中，如果水流速度v 1.8m/s为常数，人的游泳速度为常数，人的游泳速度 u 1.5m/s为常数，江面宽度为 为常数，江面宽度为 H 1200m，终点位置在起 ，终点位置在起点下游点下游 L 1000m处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。 处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。 6 6 沿沿江江的的某某一一侧侧区区域域将将建建两两个个水水厂厂，，在在江江边边建建一一个个取取水水口口。。 现现需需要要设设计计最最优优的的管管线线铺铺设设方方案案，通，通过过管管线线从从取取水水口口向向水水厂厂 送送水水。。水水厂厂与与江江岸岸的的位位置置见见右右图图。。 如如果果不不用用共共用用管管线线，，城城区区单单位位建建设设费费用用是是郊郊区区的的 2 2 倍倍。。 （（1 1）） 对对于于最最优优方方案案，，用用表表示示,。。 （（2 2）） 求求 最最 优优 取取 水水 口口 位位 置置。。 Px,0 Q10,y    7 7 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵 P P 是成对比较矩阵是成对比较矩阵  a b 3  ，， 1/ 5cdP      e2 f   （（1 1）确定矩阵）确定矩阵 P P 的未知元素。的未知元素。 （（2 2）求）求 P P 模最大特征值。模最大特征值。 （（3 3）） 分析矩阵分析矩阵 P P 的一致性是否可以接受的一致性是否可以接受 （随机一致性指标ＲＩ取）（随机一致性指标ＲＩ取） 。。 8 8 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵 P P 是三阶成对比较矩阵是三阶成对比较矩阵 3   ，， 2P    （（1 1）将矩阵）将矩阵 P P 元素补全。元素补全。（（2 2）求）求 P P 模最模最   2  大特征值。大特征值。 （（3 3）） 分析矩阵分析矩阵 P P 的一致性是否可以接受的一致性是否可以接受 （随机一致性指标ＲＩ取）（随机一致性指标ＲＩ取） 。。 9 9 考虑下表数据考虑下表数据 x x y y 11用曲改直的思想确定经验公式形式。用曲改直的思想确定经验公式形式。 （（2 2）用最小二乘法确定经验公式系数。）用最小二乘法确定经验公式系数。 1010 考虑微分方程考虑微分方程  dx  0.2x0.0001xy   dt  dy  0.4y0.00001xy  dt 0 02 24 46 68 8 （（1 1）在像平面上解此微分方程组。）在像平面上解此微分方程组。 （（2 2）计算）计算  0时的周期平均值。 时的周期平均值。 （（3 3））计算计算  0.1时， 时，y的周期平均值占总量的周期平均值的比例变化的周期平均值占总量的周期平均值的比例变化 了多少了多少 1111 考虑种群增长模型考虑种群增长模型 xt  kx1 x /1000, x0  200 （（1 1）解此微分方程。）解此微分方程。 （（2 2）根据下表数据估计参数）根据下表数据估计参数 k k 值。值。 t t XtXt 0 0 234234 2 2 313313 4 4 405405 6 6 503503 8 8 902902 1212 假设容积为假设容积为 100000100000m3的某湖泊已经受到某种物质污染，的某湖泊已经受到某种物质污染， 污染物在污染物在 湖中分布均匀，湖中分布均匀， 若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源， 并更并更 新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水）新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是，设湖水更新速率是 m3 ）10单位 。。 s （（1 1））试试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型 求出污染物浓度降为控制前的求出污染物浓度降为控制前的5所需要的时间。所需要的时间。 （）（） 1313 假如保险公司请你帮他们设计一个险种假如保险公司请你帮他们设计一个险种3535 岁起保岁起保, ,每月交费每月交费 400400 元元,60,60 岁开始领取养老金岁开始领取养老金, ,每月养老金标准为３６００元，请估算该每月养老金标准为３６００元，请估算该 保险费月利率为多少（保留保险费月利率为多少（保留 3 3 位有效数字）（）位有效数字）（） 1414 某校共有学生某校共有学生 4000040000 人，人， 平时均在学生食堂就餐。平时均在学生食堂就餐。 该校共有该校共有A,B,C3 3 个学生食堂。经过近一年的统计观测发现个学生食堂。经过近一年的统计观测发现A A 食堂分别有食堂分别有 1010，，2525 的学生经常去的学生经常去 B B，，C C 食堂就餐，食堂就餐，B B 食堂经常分别有食堂经常分别有 1515，，2525的同学去的同学去 A A，，C C 食堂就餐，食堂就餐，C C 食堂分别有食堂分别有 2020，，2020的同学去的同学去 A A，，B B 食堂就餐。食堂就餐。 （（1 1）建立该问题的数学模型。）建立该问题的数学模型。 （（2 2）确定该校）确定该校 3 3 个食堂的大致就餐人个食堂的大致就餐人 数。数。 1515 已知一阶差分方程已知一阶差分方程y n1  0.8y n 0.3,y 0  0.6。 。 （（1 1）求该差分方程平衡点。）求该差分方程平衡点。（（2 2）求）求y n表达式。 表达式。 1616 某种群至多只能活某种群至多只能活 3 3 岁，且按年观测的岁，且按年观测的Leilie矩阵矩阵 2 3 0  ,0.400L    0.7 0 0 （（1 1）该种群稳定后年增长率为多少，稳定的年龄结构是什么）该种群稳定后年增长率为多少，稳定的年龄结构是什么 （（2 2）在稳定的条件下，如果想只通过改变）在稳定的条件下，如果想只通过改变 3 3 龄组生育率来保持该种龄组生育率来保持该种 群数量上的稳定，请问该龄组生育率应该是多少（）群数量上的稳定，请问该龄组生育率应该是多少（） 17.17. 某人决定用某人决定用 1010 万元投