保形映射

第六章 保形映射 第二节分式线性函数及其映射性质 1、分式线性函数 分式线性函数是指下列形状的函数 w  z  , z  其中,,,是复常数，而且 0。在 0时，我们也称它为整线性函 数。 分式线性函数的反函数为 z  w , w 它也是分式线性函数，其中  0。 注解 1、当 0时，所定义的分式线性函数是把z平面双射到w平面，即 把 C 双射到 C 的单叶解析函数；  注解 2、当 0时，所定义的分式线性函数是把C{}双射到C{ }的  单叶解析函数； 注解 3、我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面C  。当 0  时，规定它把z  映射成w  ；当 0时，规定它把z  ,z  映射成  w  ,w   ；则把C  双射到C  。  1 把z  z 0 及 f z 现在把保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域，如果t  其一个邻域保形映射成t0 及其一个邻域， 那么我们说wfz把z  z 0 及其一个 邻域保形映射成w  及其一个邻域。 如果t  1 把 0及其一个邻域保形 f 1/ 映射成t0 及其一个邻域，那么我们说wfz把z  及其一个邻域保形映射成 w  及其一个邻域。 注解 4、分式线性函数把扩充z平面保形映射成扩充w平面。 注解 5、区域、连通性等概念可以推广到扩充复平面。 一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的 （1） 、w z （为一个复数） ； （2） 、w  eiz（为一个实数） ； （3） 、w  rz（r为一个正数） ； （4） 、w  1 。 z 事实上，我们有 w  w  z  z  0,  z   0, z  2z    把z及w看作同一个复平面上的点，则有 （1） 、w z 确定一个平移； （2） 、w  eiz确定一个旋转； （3） 、w  rz确定一个以原点为相似中心的相似映射； （4） 、w  11 是由映射z1及关于实轴的对称映射w  z1叠合而得。 zz 2、分式线性函数的映射性质 规定在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。 定理 1 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆。 证明由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及w  1 型 z 的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明 映射w  1 也把圆映射为圆即可。 z 在圆的方程 ax2 y2 bx  cy  d  0, （如果a0，这表示一条直线）中，代入 x2 y2 zz,x  则得圆的复数表示 z  zz  z ,y , 22i azz z z  d  0, 1 其中a,b,c,d是实常数，b ic是复常数。 2 1 函数w 把圆映射成为 z dww ww a  0, 即w平面的圆 （如果d0， 它表示一条直线， 即扩充w平面上半径为无穷大的圆） 。 设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射成扩充w平面上的圆C。于是， C及C把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域，D 1,D2 及D 1,D2 ， 其边界分别是C及C。则此分式线性函数把D 1 映射成D 1,D2 之中的一个区域， 但是究竟D1的象是D 1 还是D 2 ，我们必须通过检验D 1 中某一个点的象来决定。 定理 2对于扩充 z平面上任意三个不同的点z 1,z2 ,z 3 以及扩充 w平面上任 意三个不同的点w 1,w2 ,w 3 ，存在唯一的分式线性函数，把z 1,z2 ,z 3 分别映射成 w 1,w2 ,w 3 。 证明先考虑已给各点都是有限点的情形。设所求分式线性函数是 w  那么，由 w 1  az b , cz  d az 1 baz baz b ,w 2 2,w 2 2 cz 1  dcz 2  dcz 2  d 得 ww 1  az bcz 1 daz 1 bcz dz  z 1ad bc cz dcz 1 dcz dcz 1 d 同理，有 ww 1  z  z 1ad bc z  z ad bc ，w 3 w 1 31， cz dcz 1 dcz 3 dcz 1 d z 3  z 2 ad bcz  z 2 ad bc ，ww 2 ， cz 3 dcz 2 dcz dcz 2 d w 3 w 2  因此，有 ww 1 w 3 w 1 z  z 1 z 3  z 1， ww 2 w 3 w 2 z  z 2 z 3  z 2 由此， 我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一 的。 其次， 如果已给各点除w 3  外都是有限点。 则所求分式线性函数有下列的 形式 w  az b , cz  z 3 那么，由 w 1  az 1 baz 2 b ,w 2 , cz 1  z 3 cz 2  z 3 同理有 ww 1 z  z 1 z 3  z 1， ww 2 z  z 2 z 3  z 2 由此， 我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一 的。 z  z 1 z 3  z 1 w w 1 w 3  w 1注解和分别称为z 1,z2 ,z,z 3 及w 1,w2 ,w,w 3 的交 z  z 2 z 3  z 2 w w 2 w 3  w 2 比，分别记为z 1,z2 ,z,z 3 及w 1,w2 ,w,w 3 。 系 1 在分式线性函数所确定的映射下，交比不变。 设一个分式线性函数把扩充 z平面上任意不同四点z 1,z2 ,z 3,z4 映射成扩充 w平 面上四点w 1,w2 ,w 3,w4 ，那么 z 1,z2 ,z 3,z4  w 1,w2 ,w 3,w4 。 定理 3扩充 z平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充 w平 面上任何圆。 证明设C是z平面上的一个圆，C是w平面上的一个圆，在C和C上分 别取三个不同的点z 1,z2 ,z 3 和w 1,w2 ,w 3 ，由定理4.2，存在一个分式线性函数，把 z 1,z2 ,z 3 映射成w 1,w2 ,w 3 ，从而把圆C映射成圆C。 设已给圆C | z  z 0 | R 0  R  ，如果两个有限点z 1 及z 2 在过z 0 的同一 射线上，并且 | z 1  z 0 || z 2  z 0 | R2， 那么我们说z 1 及z 2 是关于圆C的对称点。 注解 1、圆