中考数学压轴题专题简单的四点共圆

专题专题 2020简单的四点共圆简单的四点共圆 破解策略破解策略 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆一般简称为”四点共 圆”．四点共圆常用的判定方法有 1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆． 如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的 圆上． A O B D C 【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成 90时，MN取最大值，最大值是 2． 【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上， 连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180 －∠BOC＝60，所以可求得MN的长为定值． P C Q M O A D O N B （2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦， 故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90． 2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆． 如图，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180（或∠B＋∠D＝180）则A，B，C，D 四点在同一个圆上． A D B C 【答案】（1）略；（2）AD＝ 3 DE；（3）AD＝DEtanα． 3 【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45，所以AD＝DE． 1 / 5 （2） 同 （1） ， 可得A，D，B，E四点共圆， ∠AED＝∠ABD＝30， 所以 AD ＝ tan30， DE 即AD＝ 3 DE． 3 3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆． 如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个 圆上． A D B C E 【答案】略 4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两 个点和这条线段的两个端点共圆． 如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上． A G D B C 【答案】略 诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁， 就能与圆内的等量关系有机地结合起来． 利用四 点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等． 例题讲解例题讲解 例例 1如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分 别为E，F．求证B，E，F，C四点共圆． 2 / 5 A A E F B D C B E F D C 证明证明因为DE⊥AB，DF⊥AC， 所以∠AED＋∠AFD＝180，即A，E，D，F四点共圆． 连结EF，则∠AEF＝∠ADF． 因为AD⊥BC，DF⊥AC， 所以∠FCD＝∠ADF＝∠AEF， 所以B，E，F，C四点共圆． 例例 2在锐角△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，E为AC的中点．若M为线段BD上的 动点 （点M与点D不重合） ， 过点C作CN⊥AM与点N， 射线EN与AB相交于点P， 证明 ∠APE ＝2∠MAD． AA EE P B N M D C P B N M D C 证明证明如图，连结DE． 因为AD⊥BC，CN⊥AM，E为AC的中点，所以DE＝AE＝CE＝NE， 从而A，N，D，C在以点E为圆心、AC为直径的圆上，所以∠DEN＝2∠DAN． 由题意可得D为BC的中点，所以ED∥AB， 所以∠APE＝∠DEP＝2∠MAD． 进阶训练进阶训练 1．已知⊙O的半径为 2，AB，CD是⊙O的直径，P是BC上任意一点，过点P分别作AB，CD 的垂线，垂足分别为N，M． （1）如图 1，若直径AB与CD相交成 120角，当点P（不与B，C重合）从B运动到C的 过程中，证明MN的长为定值； （2）如图2，求当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值． 3 / 5 P C M A 图 1 N O D A B C M O P B N D 图 2 答案答案 （1）略 （2）AB，CD相交成 90时，MN取最大值，最大值为2． 【提示】 （1）如图，连接OP，取其中点O′，显然点M． ，N在以OP为直径的⊙O′上．连结NO′并 延长，交⊙O′于点Q，连结QM，则∠QMN＝90，QN＝OP＝2．而∠MQN＝180－∠BOC＝ 60，所以可求得MN的长为定值． P CQ M A 图 1 O′ N O D B （2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O′，且直径OP＝2．而MN为⊙O′的一条弦，故MN 为⊙O′的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠QMN＝90． 2． 在 Rt△ABC中， ∠BAC＝90， 过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点， 连结AD， 作DE⊥AD 交MN于点E，连结AE． （1）如图 1，当∠ABC＝45时，求证AD＝DE； （2）如图 2，当∠ABC＝30时，线段AD与DE有何数量关系请说明理由； （3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系（用含α的三角函数表示） ． A F E B D G 答案答案 （略） ； （2）AD＝ 图 1 C E B N 图 2 D C M A 3 DE； （3）AD＝DEtanα． 3 【提示】 （1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45，所以AD＝DE． AE （2）同（1）可得A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝30，所以＝tan30， DE 4 / 5 即AD＝ 3 DE． 3 5 / 5