中考数学全国通用知识复习：例谈将军饮马问题的变式应用

例谈“将军饮马”问题的变式应用 “ “将军饮马” ”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名 的学者，名叫海伦。有一天，有位罗马将军前来向他求教一个百思不得其解的问题如图， 将军从A地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有很多走法。问走什么样的路线 最短呢精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马” 问题广为流传。 河流 事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到 这样的问题。古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路。 我们把这类求近道的问题统称 “最短路线问题”。另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于 这类问题。看来最短路线问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛。这个问题在 我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。下面我就几个例题 来具体分析解决。 唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句说 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。 ”诗 中隐含着的也是这个数学问题。 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 A点出发，走到河边饮马后再到B 点 宿营．请问怎样走才能使总的路程最短 如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上， 取 A关于河岸的对称点A，连结AB，与河岸线相交于点C，则 C 点就是饮马的地方，将军 只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C 沿直线走到营地B，所走的路程就是最短 的。 如果将军在河边的另外任一点 C饮马，所走的路程就是 AC CB，但是， AC CBAC CBABACCBACCB。 可见，在C 点外任何一点C饮马，所走的路程都要远一些． 这里需要说明的1 由作法可知，河流l相当于线段AA 的垂直平分线，所以 ADAD 。 （ ） （2）由上一条知将军走的路程就是ACBC，就等于ACBC，而两点确定一线，两点之间 线段最短，所以C 点为最优。 例 1.如图，有 A、B 两个村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站，已知每米的管 道费用是100元，A到河流的距离AD是 1km ，B 到河流的距离BE 是 3km ，DE 长 3km 。请问这 个水泵站应该建立在哪里使得费用最少，为多少 解如图所作，C 点为水泵站的位置。 依题意，得所铺设的水管长度就是 ACBC， 即ACBCAB的长度。 因为EFAD AD1 km ,所以BFBEEF4 km 又 AFDE3 km 在Rt△ABF中，AB2AF2BF2 所以解得AB5 km 所以总费用为51000100500000（元） 例 2.如图所示，已知A（1，2） ， B（2，1） ，在x 轴上找一点P，使 PA PB 最小，则P 点坐标是（） A.B. C. D. 解作B 点关于x轴的对称点B’， 连结AB’与 x轴的交点就为P 点。则 点 B’为2，-1 ，因此，直线AB’的解 析式为 y 3x5，当y0时， x 5 , 所以P 点坐标为（ 5 3 3 ，0） ，故选答案A。 例 3.有一个养鱼专业户，在如图所示的两个池塘里养鱼，他住的地方在P 点，每天早上 必须去两个池塘边投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地 解如图，作P 点关于AB的对 称点P’,关于AC的对称点P”， 连接P’P”交 AB于点D、交AC 于点E，则线段P’P”最短，即 PDDEPE 就是他走的最短距离路线。 例 4.如图，抛物线y  ax 2bxc 经过A（-1，0） 、 B（3，0） 、 C（0，3）三点，直线xl是抛物线的对称轴。 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l上的一个动点，当△ PAC的周长最小时， 求点P 的坐标。y 解 （1）由题意可得方程组 C P x AO B 所以，抛物线的解析式为。y  x 2x3 2 最短距离问题还可改变为最长问题，如下例5 例5.抛物线 ya x bxc 交 x轴于A、B 两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴 2 为x1，B（3，0） ， C（0，-3） 。 （ 1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存 在一点P，使点P 到 B、C 两点的距离之差最大 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说 明理由。 y 解 （1）由题意得出方程组 x1 A OB x C 所以解析式为y C’ x 2x3。 2 P （2）如图，作点C 关于直线x1的对称点C’（2，-3） ，连结 BC’并延长交直线x1 于 P 点，再连结PC，此时， PB-PC’PB-PCBC’为最大。则容易求得直线PB 为y3x9，当x1 时，y-6, 所以要求的P 点坐标为1,-6 。也可以连结AC延长交直线x1于 P 点。 总之，做这类问题，就只要抓住两个思路 A B l P A’ P’ 图 1 （1）是作点P，使得APBP 最小。这个是作A使得 A与 A关于直线l对称，连接AB两 点交l于 P，ABAPBP。这是因为 “两点之间，线段最短 ”。这个是最短的，要是P 不在这点， 假设是其它的点P，连接P’与 A、B，那么可以利用三角形任意两边的和大于第三边来证明 不是最短，即AP BP AP BP AB。 A B l P’ 图 2 P （2）是作点P，使得AP与 BP 的差的绝对值最大。这个就是连接 AB，延长AB交l于点P， |AP-BP | AB。如果不是这点，是其它的点P，就和AB构成三角形，那么利用三角形的任意 两边的差小于第三边就可证明 ,即|PA-PB | AB。