中考中与平行四边形有关的动点问题探究

学习必备欢迎下载 中考中与平行四边形有关的动点问题探究中考中与平行四边形有关的动点问题探究 例例 1 20XX1 20XX 年福州市中考第年福州市中考第 2121 题题 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向 点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位 长度的速度运动，过点 P 作 PD//BC，交 AB 于点 D，联结 PQ．点 P、Q 分别从点 A、C 同 时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t≥0） ． （1）直接用含 t 的代数式分别表示QB＝_______，PD＝_______； （2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形若存在，求出 t 的值；若不存在，说 明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动） ，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求 点 Q 的速度； （3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点 M 所经过的路径长． 图 1图 2 思路点拨思路点拨 1．菱形 PDBQ 必须符合两个条件，点 P 在∠ABC 的平分线上，PQ//AB．先求出点 P 运动的时间 t，再根据 PQ//AB，对应线段成比例求 CQ 的长，从而求出点Q 的速度． 2．探究点M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路 径． 满分解答满分解答 4 （1）QB＝8－2t，PD＝t． 3 （2）如图 3，作∠ABC 的平分线交 CA 于 P，过点 P 作 PQ//AB 交 BC 于 Q，那么四边形 PDBQ 是菱形． 过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E，那么 BE＝BC＝8． 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB 10．图 3 AE2310 在 Rt△APE 中，cos A ，所以t ． APt53 当 PQ//AB 时， ＝ CQCPCQ ，即 CBCA8 6 10 3 ．解得CQ  32 ． 96 所以点 Q 的运动速度为 321016 ． 9315 学习必备欢迎下载 （3）以 C 为原点建立直角坐标系． 如图 4，当 t＝0 时，PQ 的中点就是 AC 的中点 E3，0． 如图 5，当 t＝4 时，PQ 的中点就是 PB 的中点 F1，4． 直线 EF 的解析式是 y＝－2x＋6． 如图 6，PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（ 线 EF 上． 所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段EF 的长，EF＝2 5． 6t6t ，t） ．经验证，点 M（，t）在直 22 图 4图 5图 6 考点伸展考点伸展 第（3）题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数 当 t＝2 时，PQ 的中点为2，2． 设点 M 的运动路径的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，代入 E3，0、F1，4和2，2， 9a3bc  0, 得  abc  4, 解得 a＝0，b＝－2，c＝6． 4a2bc  2.  所以点 M 的运动路径的解析式为y＝－2x＋6． 例例 2 20XX2 20XX 年烟台市中考第年烟台市中考第 2626 题题 如图 1， 在平面直角坐标系中， 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B1, 0、 C3, 0、 D3, 4． 以 A 为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同 时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位， 运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E． （1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点 E 作 EF⊥AD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，△ACG 的面积最大 最大值为多少 （3）在动点 P、Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在 点 H，使以 C、Q、E、H 为顶点的四边形为菱形请直接写出t 的值． 学习必备欢迎下载 图 1 思路点拨思路点拨 1．把△ACG 分割成以 GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于AD． 2．用含有 t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来． 3．构造以 C、Q、E、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在． 满分解答满分解答 （1）A1, 4．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝ax－12＋4， 代入点 C3, 0，可得 a＝－1． 所以抛物线的解析式为 y＝－x－12＋4＝－x2＋2x＋3． APAB11  2．因此PE AP t． PEBC22 1 所以点 E 的横坐标为1t． 2 11 将x 1t代入抛物线的解析式，y＝－x－12＋4＝4t2． 24 111 所以点 G 的纵坐标为4t2．于是得到GE  4t24t  t2t． 444 111 因此S ACG  S AGE S CGE GEAF  DF  t2t  t 221． 244 所以当 t＝1 时，△ACG 面积的最大值为 1． 20 （3）t 或t  208 5． 13 （2）因为 PE//BC，所以 考点伸展考点伸展 第（3）题的解题思路是这样的 因为 FE//QC，FE＝QC，所以四边形 FECQ 是平行四边形．再构造点 F 关于 PE 轴对称 的点 H′，那么四边形 EH′CQ 也是平行四边形． 再根据 FQ＝CQ 列关于 t 的方程，检验四边形 FECQ 是否为菱形，根据 EQ＝CQ 列关 于 t 的方程，检验四边形EH′CQ 是否为菱形． 11 E1t,4 t，F1t,4，Q3,t，C3,0． 22 1 如图 2，当 FQ＝CQ 时，FQ2＝CQ2，因此 t 224t2t2． 2 整理，得t240t 80  0．解得t 1  208 5，t 2  208 5（舍去） ． 学习必备欢迎下载 1 如图 3，当 EQ＝CQ 时，EQ2＝CQ2，因此 t 2242t2 t2． 2 20 整理，得13t272t 800  0．13t 20t 40  0．所以t 1 ，t2 40（舍去） ． 13 图 2图 3 例例 3 20XX3 20XX 年上海市中考第年上海市中考第 2424 题题 已知平面直角坐标系 xOy（如图 1） ，一次函数y  在正比例函数y  3 x3的图象与 y 轴交于点 A，点 M 4 3 x的图象上，且 MO＝MA．二次函数 2 2 y＝x ＋bx＋c 的图象经过点 A、M． （1）求线段 AM 的长； （2）求这个二次函数的解析式； （3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述 3 二次函数的图象上，点 D 在一次函数y  x3的图象上，且 4 四边形 ABCD 是