初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第9章三角形试题无答案新人教版

章三角形第9 9．1全等三角形 垂，是斜边．，过的角平分线交．1．1与★已知等腰直角三角形于作9 直 延长线于，求证．且交 ，则得于．，长，、，设交延析解如图， ． ．又，，为平分中点，所以，故平分 为、、、．9．12的中点，★在中，已知分别为，、、 ，求，的长．形外两点，使，，若，FAEDCB 解析如图，连结、，则，，故．又 ，，故以，所， ，，于是，所又以 ．AQPEFBCG 9．1．3★在梯形的底边上有一点，若、、的周长相等，求． 解析作平行四边形，则，若与不重合，则在（或延长线）上，但 在在由三角形不等式易知，的周长上时，延长线上时，的周长； ，的周长．与，同理 周长，均与题设矛盾，故重合， 1 / 25 、、、，分别在边9．1．4★★上，并且内，， 的角平分线．求证分别是．、 ，所析解延连长结到以易．，，知使， ． ，所以，因 ． 于是． 中，在斜边★★设等腰直角三角形上，并且．求的中点，9．1．5是腰 证 ． 解析如图，作在的平分线上．， ．，，故由于，故， ，，于是，于是又． 的中点，是各自的斜边，都是等腰直角三角形，是9．1．6、★★设、 求证也是等腰直角三角形． 分别垂直于直线，垂足为、、、、、．、解析如图，作AFGENQCMPB ，故有，，由，．同理 ，，，所以 ． 又，故．又由，故，且得 结论成立． ，，、在上（靠近．9．17★★已知），求证的 充要条件是．2 / 25 ，，又，则解析如图，作，且，故 ．，且 ，则，则，因，得若 ． ，又，故反之，若．又得，由 ．，于是块，每一块通过平8★★两三角形全等且关于一直线对称，求证可以将其中一个划分成3．9．1 移、 旋转后拼成另一个三角形． 、对称，分别找到各自的内心，分别向三边作垂线关于解析如图，设、与 、 四边形6均为轴对称的筝形，且四边形与个四边形、，于是、 ，所以两者可通过平移、旋转后重合；同理，另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合．AAEEFFCCllDDBBl 9．1．9★★★已知两个等底等高的锐角三角形，可以将每个三角形分别分成四个三角形，分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色，使得同色三角形全等． 解析如图，设，至距离等于至距离，取各自的中位线、，则 ．由、均为锐角三角形，可在、上各取一点、，使图中标相 同数字的角相等，于是，，， ． 评注还有一种旋转而不是对称的构造法． AA631452EFEF41256354212514CDBCDB 9．1．10★已知与中，，，，与 是否一定全等 3 / 25 则同侧，让合与重合，若与重合，，与、重，解析如图在 为梯形和圆内接四边形，于是它是一个等腰梯形，于；否则由条件知四边形 ，．综上，可知，全等．与是 评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明． 和9．1．11分别为★★如图所示，已知、、均为正三角形，、、 为正三角形．的中点，求证ANELSCBTMD 、．则四边形为平行四、、 解析如图，设中点分别为、，连结、 ，则设边形，， ，又故，， ， ，于是为正三角形． ，不影响最终结论．另一侧，此时 评注注意有时在 ，是，．中点，、分别在，129．1．★★★中， 的最小值（用、上（可落在端点），满足、、表示）． ，求 ，连结、、解析如图，延长至，使、由于是、的中点， ，故，又，平故，垂直分 ． ，于是中点取（图中未画出），则的最小值为，取到 等号仅当即四边形为矩形时． AQPCBMN ，由作内一点，★★★已知．．9113为、的垂线，垂足分别是4 / 25 、．CMLPFBEDA 中点，求证．设为 是平行四、．显然四边形，连解析如图所示，取中点、，、中点 ．边形，所以，． ．由，；同理，又由，所以 ，，从而，所以 所以． ，上的点，且9、．1分别是边．14、★★在中，已知， ，，求的度数． ．解析如图，延长到，使，连、 ，，所以，因为 ． ． ，于是，． ，又因为， 所以 ，， ． 在，所以，故，和中，， ． ．于是， 上的点，满足、、、．1为锐角，．15、★★在中，分别为边、9 ，，且．求证． ．在上取一点，使．连结于并延长交解析若，则在，连结 有于．是故，，，，与中 ．，因此．又易知，所以， 但另一方面，由，知，所以5 / 25 ． ．矛盾，故假设从而不成立． 若，同法可证此假设不成立． ，于是由综上所述 ．知，从而 的等腰三角1的等边三角形，9．1．16是★★如图，为顶角为边长是 一个一个形连结于、成角，作角的两边分别交，、，形，为以顶点 ． 求的周长．ANMCBED ，中有与到，连结，使．易知在解析延长 ，从而．所以，，． ，于是在中有，与 ．从而．，故 所以 ． 的中点，点，点★★★179．1．为等腰直角三角形，、分别为边和 上，且，点上，且，求证．在射线在射线 解析取，连中点．6 / 25 EADFMCBN 故，，，，在与中 ，，．于是有． 同样易知． ，于是有 知中在由，，，与 ，所以．于是有 ，． 中有，，故．于是有， 与从而在 ． 总之， ，即 ． 的，连结至★★★已知18．91．，延长，使与，为交于 、、共圆．、 外心，则DAQBCOP 解析如图连好辅助线，由于，故，设 ，又，则，故， 、、，因此，于是，于是 、共圆． 分别是，，且9．、和19和．1★★★已知，的中 点，，问两个三角形是否必定全等 图中未画出解析如图，作出外心及相应的、． 上，则在若与，此时未必全等． 不与若重合，则7 / 25 ， ， ． 、，、，所以当共线，则，从而， ． 或是不共线，于则（，当、，、 有故或），（，），于是由三角形全等可或得 ）．（