M推理与证明文科
M M推理与证明推理与证明 M1合情推理与演绎推理 12.M1M1[2012陕西卷] 观察下列不等式 1 3 1+ 2 , 22 115 1+ 2+2< , 233 1117 1+ 2+2+2< , 2344 照此规律,第五个不等式为________. ... 11111 11 12.1+ 2+2+2+2+2 [解析] 本小题主要考查了归纳与推理的能力,解题的 234566 关键是对给出的几个事例分析,找出规律,推出所要的结果. 从几个不等式左边分析,可得 11111 出第五个式子的左边为1+ 2+2+2+2+2,对几个不等式右边分析,其分母依次为 23456 2,3,4,所以第 5 个式子的分母应为 6,而其分子依次为 3,5,7,所以第 5 个式子的分子应 11111 11 为 11,所以第 5 个式子应为1+ 2+2+2+2+2 . 234566 - 16.M1M1[2012湖南卷] 对于 n∈N N*,将 n 表示为 n=ak2k+ak-12k 1++a121+ a020,当i=k 时,ai=1,当0≤i≤k-1 时,ai为 0 或 1.定义 bn如下在n 的上述表示中, 当 a0,a1,a2,,ak中等于 1 的个数为奇数时,bn=1;否则 bn=0. 1b2+b4+b6+b8=________; 2记 cm为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数,则cm的最大 值是________. 16.1322[解析] 本题以二进制为依据考查数列推理,意在考查考生的逻辑推理 能力,具体的解题思路和过程由前几项的结果,得出规律. 1由 2=21+0=102易知 b2=1,4=122+021+020=1002可知 b4=1,同样可知 b6=0,b8=1,所以 b2+b4+b6+b8=3; 2任何一个二进制的数,当 1 的个数为奇数的时候,连续的这样的数最多只有两个, 所以 cm的最大值是 2. [易错点] 本题易错一推理能力不行,无法找到规律,导致无从下手;易错二发现 不了数列与二进制的关联,导致第2问无从下手. 17. M1M1[2012湖北卷] 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石 子表示数.他们研究过如图1-6 所示的三角形数 图 1-6 将三角形数 1,3,6,10,记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列{bn}.可以推测 1b2 012是数列{an}中的第________项; 2b2k-1=________.用 k 表示 5k5k-1 17.[答案] 15 0302 2 nn+1 [解析] 由以上规律可知三角形数1,3,6,10,的一个通项公式为 an=,写出其若 2 干项来寻找规律1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,其中能被 5 整除的为 10,15,45,55,105,120,即 b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15. 5k5k+1 由上述规律可猜想 b2k=a5k=k 为正整数, 2 5k-15k-1+15k5k-1 b2k-1=a5k-1==, 故 b2 012=a21 006=a51 006=a5 030, 即 b2 012 22 是数列{an}中的第 5 030 项. 20.C1C1、M1M1[2012福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等 于同一个常数 1sin213+cos217-sin13cos17; 22 2sin 15+cos 15-sin15cos15; 22 3sin 18+cos 12-sin18cos12; 22 4sin -18+cos 48-sin-18cos48; 22 5sin -25+cos 55-sin-25cos55. 1试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; 2根据1的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 20.解解法一 1选择2式,计算如下 1 sin215+cos215-sin15cos15=1- sin30 2 13 =1- = . 44 3 2三角恒等式为 sin2α+cos230-α-sinαcos30-a= . 4 证明如下 sin2α+cos230-α-sinαcos30-α =sin2α+cos30cosα+sin30sinα2-sinαcos30cosα+sin30sinα 33131 =sin2α+ cos2α+sinαcosα+ sin2α-sinαcosα- sin2α 42422 333 = sin2α+ cos2α= . 444 解法二 1同解法一. 3 2三角恒等式为 sin2α+cos230-α-sinαcos30-α= . 4 证明如下 sin2α+cos230-α-sinαcos30-α 1-cos2α1+cos60-2α =+-sinαcos30cosα+sin30sinα 22 111131 = - cos2α+ + cos60cos2α+sin60sin2α-sinαcosα- sin2α 222222 1111331 = - cos2α+ + cos2α+sin2α-sin2α- 1-cos2α 2224444 1113 =1- cos2α- + cos2α= . 4444 5.M1M1[2012江西卷] 观察下列事实|x|+|y|=1 的不同整数解x,y的个数为 4,|x|+|y| =2 的不同整数解x,y的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解x,y的个数为 12,,则|x| +|y|=20 的不同整数解x,y的个数为 A.76B.80C.86D.92 5.B[解析] 个数按顺序构成首项为4,公差为 4 的等差数列,因此|x|+|y|=20 的不同 整数解x,y的个数为 4+420-1=80,故选 B. M2直接证明与间接证明 23.D5D5、M2M2[2012上海卷] 对于项数为 m 的有穷数列{an},记 bk=max{a1,a2,, ak}k=1,2,,m,即 bk为 a1,a2,,ak中的最大值, 并称数列{bn}是{an}的控制数列. 如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5. 1若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的{an}; 2设{bn}是{an}的控制数列,满足 ak+bm-k+1=CC 为常数,k=1,2,,m,求证 bk=akk=1,2,,m; 1 nn+1 ,1 .若 an=an2--1 3设 m=100,常数 a∈n,{bn}是{a