三垂直模型

三垂直模型三垂直模型 知识导航 三垂直模型是经典的全等三角形模型之一， 综合性较强。 解题方法通常是根据三垂直倒 角来证明题目中有一对边相等的两个全等三角形。 一线三等角是三垂直模型的变式， 包括一 线三等锐角、 一线三直角、 一线三等钝角， 这类型题型通常是利用三垂直模型原理进行倒角， 证明两个三角形全等。 【核心考点】三垂直模型【核心考点】三垂直模型 1.如图，AC CE，ACE 90，AB  BD，ED  BD，AB  6cm，DE  2cm，则BD 等于 A．6cmB．8cmC．10cm 【解答】 解AB BD，ED  BD， B  D  ACE  90， BACACB90，ACBECD 90， BAC  ECD， 在RtABC与RtCDE中，   B  D BAC  DCE，  AC  CE RtABC RtCDEAAS， BC  DE  2cm，CD  AB  6cm， BD  BC CD  26 8cm， 故选B． D．4cm 2. 如图，已知ABC  CDE，B D 90，且B，C，D三点在同一条直线． （1）试说明BD  ABED． （2）试判定ACE的形状， 并说明理由 ． 【解答】 证明 （1）RtABC RtCDE， BC  DE，ABCD， BD CDCB， BD  AB ED． （2）结论ACE是等腰直角三角形 ． 理由RtABC RtCDE，B D 90， ACBCED，BAC ECD，AC  EC， BACACB90， ECDACB90， ACB90， ACE是等腰直角三角形 ． 3.已知在平面直角坐标系中，ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，ACB90， AC  BC．如图，当A0,2，C1,0，点B在第四象限时， 则点B的坐标为_______． 【解答】 解作BD  x轴， ACOCAO 90，ACOBCD90， CAO BCD， 在AOC和CDB中，   AOC  CDB  90 CAO  BCD ，  AC  BC AOC  CDBAAS， DB OC 1，CD  AO  2， OD3， 点B的坐标为3,1． 故答案为3,1． 4.如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为2，3，m，A，B， N，E，F五点在同一直线上，则正方形CNHM的边长m是多少 【解答】 解四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形， CNBENH 90， 又ENH NHE 90， CNB  EHN， 在CBN和NEH中，   CBN  NEH CNB  NHE  CN  NH CBN  NEH， HE  BN b， 故在RtCBN中，BC2 BN2CN2， 又a  2，b 3， m a2b2223213． 则正方形CNHM的边长m是13． 5.已知在平面直角坐标系中，等腰直角ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且 ACB90，AC  BC． （1）如图 1，当A0,2，C1,0，点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由． （2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A0,a在y轴正半轴上运动，点Bm,n在 第四象限时，作BD  y轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论． 【解答】 解 （1）点B的坐标为3,1． 理由如下作BD  x轴于D， BOC 90  BDC， OACACO90， ACB 90，AC  BC， ACOBCD 90， OAC  BCD， OAC  BCD 在AOC和CDB中，  AOC  CDB  90，  AC  BC AOC  CDBAAS， AO CD，OC  BD， A0,2，C1,0， AO CD  2，OC  BD 1， OD 3， B在第四象限， 点B的坐标为3,1； （2）amn 0． 证明作BE  x轴于E， BEC  AOC 90， 12 90， ACB 90， 1390， 23， 2  在CEB和AOC中，  3 BEC  AOC，  AC  BC CEB  AOCAAS， AO CE  a，BE CO， BE  x轴于E， BE / /y轴， BD  y轴于点D，EO  y轴于点O， EO  BD  m， BE  n， a  m  n， amn  0． 6.如图 1，ABC中，BAC 90，AB AC，直线l经过点A，分别过点B，C作直线 l的垂线，垂足分别为D，E，求证DE  BDCE； （1）将直线l绕点A逆时针旋转到直线l与BC相交，且BAD 45（如图2时，其它 条件不变，请你探索DE，BD，CE之间的数量关系，并证明之； （2）继续旋转，使45 BAE 90（如图3，其它条件不变，此时（ 1）中的结论还成 立吗若成立，给出证明；若不成立，DE，BD，CE之间又怎样的数量关系（不需 证明） ． 【解答】 证明如图 1，BDl，CE l， BDACEA90， ABDDAB90． BAC 90， DABCAE 90， ABD CAE． 在ABD和CAE中 BDA  CEA  ABD  CAE， AB  CA  ABD  CAEAAS， AD CE，BD AE． DE  AD AE， DE CE  BD； （1）DE CE  BD 理由如图 2，BDl，CE l， BDACEA90， ABDDAB90． BAC 90， DABCAE 90， ABD CAE． 在ABD和CAE中   BDA  CEA ABD  CAE，  AB  CA ABD  CAEAAS， AD CE，BD AE DE  AD AE， DE CE  BD； （2）DE  BDCE． 理由如图 3，BDl，CE l， BDACEA90， ABDDAB90． BAC 90， DABCAE 90， ABD CAE． 在ABD和CAE中   BDA  CEA ABD  CAE，  AB 