三条线段之和最小值问题

三条线段之和最小值问题三条线段之和最小值问题 三条线段之和最小值问题 .重庆南开中学初 2013 级 l1 班周华吴朱泓郦 0 重庆南开中学初 20i3 级 I2 班王丁刘珈言 .指导教师张克 近几年,中考数学试卷中出现了 求三条线段之和最小值的试题.题目 多变,风格清新,但万变不离其宗.下 面举三例 霸2009 福建彰州改编如 图 1,厶 40B--450r 腥厶 4OB 内一点. E 图 13 1--角板绕点 0 旋转.acoFfl 邑 否成为等腰直角三角形若能,指出所 有情况即给出 ACO 腥等腰直角三 角形时 B 珀勺长;若不能,请说明理由. 2---角板绕点 0 旋转,线段 OE 和 0 间有什么数量关系用图 l2 或 图 13 加以证明. 3若将三角板的直角顶点放在 斜边上的点 P 处如图 14,当 AC4 时.和贿怎样的数量关系证明 你发现的结论 222012/02 图 14 C Q- . . 图 1 A POIO,Q,R 分别是,OB 上的动点, 求 PQPRRQ 的最小值 点跟角内部的一个定 点.要在角的两边各确定一点使这三 点连成的三角形周长最小.只需将这 三边的和转化为以两定点为端点的 藤1△c 匕成为等腰直 角三角形.包括当点雕曰 C 中点时, CFOF,曰;当点 B 与点腹合时,Z OFoC.Bl0. 2如图 12,连结 DB,则对于 △OEB 和△OFC.有 OBOC;OBE /0CF--45因为 E0 露/--BOF /-COFL_BOF90所以/_EOB C0F 所以△D 朋△OFC.所以 DEl_D图 13 的证明方法与此类似 3如图 14,过点尸作肼上 AB,垂 足为.AM.PN_LBC.垂足为点因为 厶 EPM厶 EPN厶 EPN/_FPN90. 所以厶 EPMFpN.叉因为 EMP FNP90.所以 AEPM-“AFPN.所 以PM 丝.因为 AAMPAPNCBJ PP} 为等腰直角三角形,所XRt△PMA RtAPNC.所以.又因为一 AP pNPCAC 一 1 所以一 PE 三 4PPC 以上试题建立在三角板旋转的 基础上.同学们在解题过程中通过实 验操作,观察,猜想,论证,可发现图 形三角板旋转过程中几何基本元 素之间的数量关系.涉及的主要知识 有三角形旋转后构造的重叠部分的 面积,有关线段和角的数量关系相 等或位置关系垂直或平行,三角 形全等与相似的判定和性质,直角三 角形的性质和圆的有关内容. 以上试题.突出体现了以下特点 第一.试题结合三角板的具体情 境,考查了同学们对基本几何图形的 形状,大小,位置关系及变换的认识, 对重要几何基本事实核心概念的 理解和应用. 第二,试题注重让同学们在应试 过程中经历操作,观察,推理,想象等 探索过程.强调在图形运动重叠,旋 转,平移变化过程中研究几何图形 的基本要素及其关系的能力. 第三.试题更加突出“合情推 理“与“演绎推理“相辅相成的关系. 考查了同学们优化解题途径及方法 的能力.囝 一 条直线即可. 鬟分别作点 P 关于∞,OA 的对称点尸 I,P2,连结 PlP2,根据轴对称 性易知 DPOP2OPIO,PlO 2AOB90.,因而 P,l02,故 PQPRRQ 的最小值为 10,/2. 2010 福建宁德如图 2, 四边形 ABCD 是正方形.ABE 是等 边三角形,为对角线 BD不含 B 点 上任意一点,将嗍点逆时针旋转 60o 得到 BN,连结 EN,AM,CM. E . 图 2 1求证AAMBAENB. 2①当点臃何处时,AMCM 的值最小 ②当点在何处时,A 肘8 肘 rc 的值最小说明理由. 3当 AMBMCM 的最小值为 ,/了1 时,求正方形的边长 嘲易证△AAENB, 以及△删为等边三角形.所以 A 肌 BMCM 就可以转块氓 ENNMCM. 而 E,C 两点已定,则连结 EC,利用两 点之间线段最短便可求解. 1因为△A 舾是等边 三角形,所以胞,ABEf0.因 为 MBN而.致以厶 MBN 一/_ABN 厶 ABE～LABN.即 LMBA厶 NBE. 又因为枷.所以 AAMBAENB SAS. 2①当点 M 落在 BD 的中点时, AMCM 的值最小. 墓如图 3,连结佃.当点位于 BD 与 CE 的交点处时.A 删C 的值 最小.理由如下连结 MN,由1知, △A△ENB.所以 AM;叭因为 MBN而.MBNB.纸,扶 BMN 足 等边三角形.所以 BMMN.所以 A 肌 BMCMENMNCM.根据“雨点之 间线段最短“得,当删删CMEC 时最短,所以当点位于 BD 与 CE 的交 点处时,AMfBMCM值最小即等 于点的长., AD 3过点 E 作 EF 上 BC 交 CB 的延长 线于点 F.则 LEBF--90.60.30设 正方形的边长为.1BF., 2 E.在 Rt△E 中.因为 E 2 EC,所以孚 ,/了十 1,解得 l,/,X2 一,/ 舍去,所以正方形的边长为,/. 黼辫20l1 四川南充如图 4. 在等腰梯形 ABCD 中,AD//BC,AD ABCD-2,LC60,幌 BC 的中点. 1求证AMDC等边三角形. 2将△c 绕点旋转,当 MD 即与 AB 交于一点 E,MC即 MC同时与 AD 交于一点邝寸,点层.F 和点 A 构成 AAEE 试探究 AAEF 的 周长是否存在最小值.如果不存在. 请说明理由;如果存在,请计算出 △A 肼周长的最小值. BQMPC 图 4 鳓1过点 D 作 DPJ-Bc 于 点 P,过点 A 作 AQ_I_BCff-AQ,得到 CPBQB,CPBQAB--AD.由矩 形 AD 尸 Q,ADPQ,推 IBC2AD.由 拓展延伸 点是 BC 的中点,推出 BMCMAD ABCD.根据等边三角形的判定即 可得到答案. 2连结 AM,由 ABMD 是菱形可 得出 AMAB.AMAD 和 AMCD 是等 边三角形.进而有胀 ME 证 出△BMEAAMFASA后可得出 占 F,MEMF,从而△璇等边 三角形.根据的最小值为点 J】If 到 AD 的距离,/了,即的最小值是 ,/了.即可求出△AE 肭周长. 翻1过点 D 作 DPBC 于 点尸,过点 A 作口上 C 于点 Q,因为 l LCLB60.,所以 CPBQAB, CPBQ--AB--AD.又因为 ADPQ 是矩 形,ADPQ,k.BC2AD.由已知,点 妯 C 的中点.所以删CMADAB CD.即在△MDC 中,CCD,C 60所以△c 是等边三角形. 2AAEF 的周长存在最小值, 理由如下连结 AM,由1易知平行 四边形 ABMD 是菱形,△M