一元二次方程总复习知识点梳理学生

一元二次方程总复习一元二次方程总复习 考点考点 1 1一元二次方程的概念一元二次方程的概念 一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一 元二次方 程． 一般形式ax2＋bxc0a≠0） 。注意注意判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为 一般形式。 考点考点 2 2一元二次方程的解法一元二次方程的解法 1.直接开平方法对形如xa）2b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的 方法。 Xa b  x 1-a bx 2 -a- b 2.配方法用配方法解一元二次方程ax2＋bxc0k≠0）的一般步骤是①化为一般形式；②移 项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方， 即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为xa）2b 的形式；⑤如果b≥0 就可 以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 3.公式法公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二 b b2 4ac 次方程的求根公式是x b2－4ac≥0。步骤①把方程转化为一般形式；②确定 2a a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0 时代入求根公式。 4.因式分解法 用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法． 理论根据 若 ab0， 则 a0 或 b0。步骤是①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次 方程的解． 因式分解的方法提公因式、公式法、十字相乘法。因式分解的方法提公因式、公式法、十字相乘法。 5 5．一元二次方程的注意事项．一元二次方程的注意事项 ⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当 a0 时，不含有二次项，即不是一元二 次方程． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若 b2 －4ac＜0，则方程无解． ⑶ 利用因式分解法解方程时， 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式． 如－2x＋423（x ＋4）中，不能随便约去 x＋4。 ⑷⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方 程的一般顺序是开平方法→因式分解法→公式法．程的一般顺序是开平方法→因式分解法→公式法． 6．一元二次方程解的情况 ⑴b2－4ac≥0方程有两个不相等的实数根； ⑵b2－4ac0方程有两个相等的实数根； ⑶b2－4ac≤0方程没有实数根。 解题小诀窍当题目中含有“两不等实数根”解题小诀窍当题目中含有“两不等实数根” “两相等实数根”“两相等实数根” “没有实数根”时，往往首先考虑用“没有实数根”时，往往首先考虑用 b b2 2－－4ac4ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。 考点考点 3 3根与系数的关系根与系数的关系 韦达定理韦达定理 bc 对于方程 ax2＋bxc0a≠0）来说，x1 x2 a，x1●x2 a。 222x  x  x  x  2x 1 x 21212 利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形） ，如 x  x 2 11 1 x 1 x 2 x 1x2 。 解题小诀窍当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定 理。 二、经典考题剖析 【考题 1－1】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（） A．ax＋bxc0B. kx＋5k60 1 C.3x＋2xx0D. k＋3 x＋2x10 【考题 1－2】解方程x＋2x－30 【考题 1－3】 （2009、青岛，6 分）已知方程 5xkx－100 一个根是－5，求它的另一个根及 k 的 值． 三、针对性训练 1、下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（） A.3x 12 2x 1B. 11  2  0 x2y 222C.ax bx c  0D.x  2x  x 1 2 2、若2x 3与2x4互为相反数，则 x的值为 11 A．B、2C、2D、 22 3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（） A.x-2x-990 化为x-1100 B.x8x90 化为x425 210 781 y 2 t 2 39 416D.3y-4y-20 化为C.2t-7t-40 化为 4、关于 x 的一元二次方程m 1x2  x  m2 2m 3 0的一个根为 x0，则 m 的值为（） A．m3 或 m－1B．m－3 或 m 1 C．m－1D．m－3 5、2009 济南若 x1 ，x2 是方程 x－5x60 的两个根，则 x1 x2 的值是（ ） A .1B.5C. －5D.6 11  6、2009 眉山 若 x1 ，x2 是方程 x －3x－10 的两个根，则 x 1 x 2 的值为（） 11 A.3B.－3C.3D－3 22x  x 24，则 k 的值为（） 12 7、2009 潍坊 若 x1 ，x2 是方程 x －6xk－10 的两个根，且 A.8B. －7C.6D.5 8、2009 成都 若关于 x 的方程 kx2－2x－10 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A.k＞－1B. k＞－1 且 k≠0 C. k＜1D. k＜1 且 k≠0 9、已知一元二次方程 x2x－80 的一根是 2，则另一个根是______________. 10、 2009 泰安 若关于 x 的方程－x （2k1） x2－k 0 有实数根， 则 k 的取值范围是_______ 222x 3  32; 23yy 1 2y 1;11、解方程1 2 22 3 34x－9－2x－30;4 x－6x80 k 212、2009 鄂州关于 x 的方程 kx k2x40 有两个不相等的实数根， 1求 k 的取值范围； 2是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于0若存在求出 k 的值；不存在说明理由。 考点一元二次方程的应用考点一元二次方程的应用 一、考点讲解 1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下 ⑴ 与几何图形有关的应用如几何图形面积模型、勾股定理等； ⑵ 有关增长率的应用此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的 等量关系是 a1x）b，其中 a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率） ，b 表 示后来的数据