一元二次方程知识点总结及典型习题

一元二次方程一元二次方程 一、本章知识结构框图一、本章知识结构框图 设未知数，列方程数学问题 实际问题实际问题 ax2bx  c  0a  0 开平方法 解解 方方 程程 降降 次次 配方法 数学问题的解 公式法 分解因式法 实际问题的答案实际问题的答案 检 验 bb24ac x  2a 二、具体内容二、具体内容 （一） 、一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为 1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数a  0时，整式方程ax bx  c  0才是一元二次方程。 （2）各项的确定包括各项的系数及各项的未知数. （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二） 、一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而 把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题 2 1开平方法对于形如x  n或ax  b  na  0的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 2 2 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如x  n的方程的解法 第 1 页 共 13 页 2 当n  0时，x   n; 当n  0时，x 1  x 2  0; 当n  0时，方程无实数根。 （2）配方法通过配方的方法把一元二次方程转化为x  m  n的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤 ①移项把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化 1” 根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为x  m  n的形式； ④求解若n  0时，方程的解为x  m  2 2 n，若n  0时，方程无实数解。 bb24ac （3）公式法一元二次方程ax  bx  c  0a  0的根x  2a 2 当b  4ac  0时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当b  4ac  0时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为x1 x2  当b  4ac  0时，方程无实数根. 公式法的一般步骤①把一元二次方程化为一般式；②确定a,b,c的值；③代入b  4ac中计算其值，判 断方程是否有实数根；④若b  4ac  0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一 元二次方程。 ） （4）因式分解法 ①因式分解法解一元二次方程的依据如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即 若ab  0，则a  0或b  0； ②因式分解法的一般步骤 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得 到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次 根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定 不要忘记对字母的取值进行讨论。 第 2 页 共 13 页 2 2 2 2 b ； 2a 2 （三）（三） 、根的判别式、根的判别式 1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合 题意的参数取值范围。 （1）b  4ac （2）根的判别式定理及其逆定理对于一元二次方程ax bx  c  0（a  0） 2 2 a  0 ①当方程有实数根；   0时  （当 a  0 a  0 ）方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；   0时  0时 a  0 ②当 方程无实数根；   0时  从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤） ； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论. 例求证方程a 1x  2ax  a  4  0无实数根。 （4）分类讨论思想的应用如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方 程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为 0，一元二次方 程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面 分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 （四）（四） 、一元二次方程的应用、一元二次方程的应用 1.数字问题解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。 2.几何问题这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要 结合几何知识检验。 第 3 页 共 13 页 222 3.增长率问题（下降率） 在此类问题中，一般有变化前的基数（a） ，增长率（x） ，变化的次数（n） ， 变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式a1 x  b表示。 4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去） 。 （五）新题型与代几综合题（五）新题型与代几综合题 （1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600 平方米，在场地的北面有一堵 50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有400 平方米，不合要求，问应 如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢 （2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿 符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜（36 岁） 3已 知 a,b,c分 别 是ABC的 三 边 长 ， 当m  0时 ， 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 n cx2 m  b