一名数学家=十个师

一名数学家＝十个师一名数学家＝十个师 在第二次世界大战中，盟军为了和德国法西斯作战，需将大量军 需物品穿过大西洋运送到各个战场。 可是在战争开始初期，负责运送 物资的英美船队常常受到德国潜艇的袭击， 损失惨重。当时英美两国 限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间德军的“潜艇战”搞得盟 军焦头烂额，海上运输成了令人头疼的问题。 在这进退两难之际，有位美国海军将领专门去请教了几位数学 家。 数学家运用概率论分析后发现， 运输舰队与敌军潜艇相遇是一个 随机事件， 即船队是否被袭击， 取决于航行过程中是否与敌潜艇相遇， 而与敌潜艇是有可能发生相遇、 又有可能不发生相遇的。 从数学角度 来看这一问题，它具有一定的规律。 1.一定数量的船只，编队规模越小，批次就越多；批次越多，与 敌潜艇相遇的概率就越大。比如，5 位同学放学后各自回到自己的家 里，老师要找一位同学，随便去哪一位同学家都行。但若这5 位同学 都集中在其中某一位同学家里， 老师可能要找几家才能找到他们， 一 次找到的可能性只有五分之一，即 20。 2.旦与敌潜艇相遇，船队的规模越小，每艘船被击中的对能性 就越大。这是因为德军潜艇的数量与船队的数量相比总是少的， 潜艇 所载弹药有限，每次袭击， 不论船队规模多大，被击沉的数目基本相 等。 假如运输船的总量为 100 艘，按每队 20 艘船编队，就要编成 5 队；而按每队10 艘船编队，就要编成10 队。两种编队方式与敌潜艇 相遇的可能性之比为 510,即 12。假设每次遭到敌潜艇袭击损失5 艘运输船，那么，上述两种编队方式中每艘船被击中的可能性之比为 55 12。 2010 两者结合起来看， 两种编队方式中每艘运输船与敌潜艇相遇并被 击沉的可能性之比为 14。这说明，100 艘运输船，编成 5 队比编成 10 队的危险性小。 美国海军接受了数学家的建议， 改进了运输船由各个港口分散起 航的做法，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海区，然后各 自驶向预定港口。奇迹出现了，盟军船队遭袭击被击沉的概率由原来 的 25降低为 1,大大减少了损失，保证了战略物资的供应。 可见，一名优秀数学家的作用多么巨大 很多人以为自己是数学天才，很多人以为自己是数学天才， 直到遇见了极限直到遇见了极限 反比例函数是大家接触最早和最熟悉的函数之一，它的函数解析式是 yk/x （k 为常数，k≠0）。我们利用反比例函数的解析式，就可以画出它的图像，如 下图所示 根据函数的图像可知，在 k＞0 情况下的第一象限内，反比例函数中 x 的值 无限变大， 大到无穷的时候，曲线就不断向 x 轴靠近， 换句话说 y 的值逐渐向“0” 靠近；或者是 y 的值无限变大，曲线就不断向 y 轴靠近，x 的值逐渐向“0”靠近。 此时，有些人就会产生一些疑问，当这个x 的值取到非常大、非常大、非常 大的时候，y 的的值和“0”之间存在什么样的关系呢会相等吗 对于类似这样的疑惑，我们从现代数学“极限”的角度出发，就很好回答，但 在几百年前，像这样的问题在当时却属于一个世界性的难题。 我们知道，对于某一个函数，假设其中的某一个变量x，它在无限变大（或 者变小）的这一变化过程中，导致另一个变量 y 逐渐向某一个确定的数值 m 不 断地靠近，不过最终的结局只能是不断的接近“m”，却永远都无法跟“m”重合。 简而言之， 某一变量 x 处于无限变大或无限变小这一变化过程，那么另一个 变量 y 的值永远都不会等于 m，但只要变量 x 一直处于无限变大或无限变小中， 那么 y 的值可以取等于 m，这就是极限的思想。 因此，如果一个人要想理解“极限”这一抽象数学概念，那么就需要学会接受 和明确知道极限是一种“变化状态”的描述， 变量y有不断地努力靠近m点的趋势。 此时，变量 y 永远趋近的值 m 就叫做“极限值”。 极限作为微积分、 数学分析等重要内容的基础，可以说是初等数学迈入高等 数学一个关键门槛。正如所有的数学知识概念出现的背景一样，极限也是属于社 会经济发展和科学技术之间产生的“矛盾”产物。 在早期 16 世纪的欧洲，一些国家开始进入资本主义萌芽阶段，整个社会处 于快速变革状态，生产力得到极大的发展，出现一些最基本的工业化。人们在发 展过程中，发现很多生产技术都出现问题，跟不上社会发展的速度，当时的数学 知识已经无法顺利解决一些“变化的量”，如运动变化、天文学、机械化、航海、 采矿、大坝建造等，都需要新的数学知识才能解决。 初等数学很多时候只能解决一些相对“稳定”的量，但在现实工作生活中，充 满了大量“变化的量”，这就要求数学必须突破现有的知识壁垒，能够找到一种可 以描述和研究运动、变化过程的新数学知识，最终解决这些“变量”问题。基于当 时这样的社会发展背景，数学家都努力尝试突破传统的思维模式，直接促进 “极 限”思维的形成和发展，从而建立微积分等重要数学分支。 最早的时候，牛顿和莱布尼茨在各自的领域创立了微积分，让“极限”的发展 拥有了正是展开拳脚的舞台。在当时，微积分一经创立诞生，就帮助很多人顺利 解决了以往在运动变化、力学、天文学等中认为束手无策的难题，数学也迎来了 新的发展。 不过， 牛顿和莱布尼茨所创立的微积分并不是十分完善，特别是在一些关键 疑难点没有讲清楚，如“无穷小量”的解释，逻辑上存在着很多混乱，尽管当时的 “初始微积分”已经能轻而易举解决一些实际工作中的难题。 就像牛顿的瞬和流数或是莱布尼茨的 dx 和 dy，都需要解决和讲清楚“无穷 小量”这一特殊概念，但这两位伟人都没有给出明确、严谨的定义。 为什么“无穷小量”会这么重要呢 我们都知道，在微积分的推导或运算过程中，常常需要先用“无穷小量”作为 分母进行除法，然后又把“无穷小量”当作零来处理，以消除那些包含有它的项。 那么问题就来了，“无穷小量”究竟是零还是非零呢 因为如果它是零， 怎么能用它去作除数呢如果它不是零，又怎么能把包含 它的那些项消除掉呢这种逻辑上的矛盾，直接或间接影响微积分的发展，更让 所有数学家不仅意识到“极限”这一概念的重要性，更明白极限思想的进一步发展 是与微积分的建立紧密相联系的。 当时的人们束缚于狭小的观念里，还是以传统的数学思维方式去看待“极 限”，试图用“零误差”去进行变量计算，这样的思维方式只能导致悖论的发生，这 就是数学史上所说的“无穷小量”悖论产生的原因。 牛顿和莱布尼茨在晚期都不同程度地接受了极限思想， 也都努力去尝试解决 这一“神秘”概念，试图以极限概念作为微积分的基础。 很多可惜，牛顿和莱布尼茨为都无法完整得出极限的严格表述。 虽然当时的人们没有弄清楚“极限”这一概念，但微积分的出现，确实促进社 会的发展。随着微积分应用的更加广泛和深入，大家都意识到需要解决“极限”这 一问题，要有严谨、逻辑的数学语言对其进行完整描述。 加上人类文明不断向前进步， 遇到的问题越来越复杂，这就要求数学必须推 出明确的概念、合乎逻辑的推理和运算法则。 进入 19 世纪之后，法国著名数学家柯西比较完整地阐述了“极限”的概念， 以及相关的理论。柯西在分析教程中指出当一个变量逐次所取的值无限趋 于一个定值， 最终使变量的