一元二次方程的解法详细解析

本文整理于网络，仅供阅读参考 一元二次方程的解法详细解析一元二次方程的解法详细解析 【一元二次方程要点综述】 【要点综述】 一元二次方程和一元 一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学 生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说 明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知 数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程，一 般式为 。一元二次方程有三个特点1只含有一个未知数；2 未知数的最高次数是 2；3是整式方程。因此判断一个方程是否 为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行 整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下 面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是 通过“降次” ，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本 解法有四种1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因 式分解法。如下表方法适合方程类型注意事项直接开平方法 ≥0 时有解， ＜0 时无解。配方法二次项系数若不为 1，必须先把 系数化为 1，再进行配方。公式法≥0 时，方程有解； ＜0 时，方 程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为 0， 另一边分解成两个一次因式的积。 方程的一边必须是 0， 另一边可 用任何方法分解因式。 【举例解析】例 1已知，解关于的方程。 分析注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解由得 或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方程为，即，解得，. 说明由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才 本文整理于网络，仅供阅读参考 是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二 次方程的描述是不完整的， 应该说明最高次项系数不为 0。 通常用 一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于 的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字 母系数分情况进行讨论。 例 2 用开平方法解下面的一元二次方程。 （1） ； （2） （3） ； （4）分析直接开平方法就是用直接开平方 求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解 为。通过观察不难发现第（1） 、 （2）两小题中的方程显然用直接 开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的 121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程 左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开 平方法进行解答了。解 （1）∴（注意不要丢解）由得，由得， ∴原方程的解为 ， （2）由得，由得∴原方程的解为 ， （3）∴∴ ∴，∴原方程的解为 ， （4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为 ， 说明解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不 要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成 一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只 需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例 3用配方法解下列一 元二次方程。 （1） ； （2）分析用配方法解方程，应先将常数移 到方程右边，再将二次项系数化为 1，变为的形式。第（1）题可 变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即， 方程左边构成一个完全平方式， 右边是一个不小于0的常数， 即 ， 接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别 注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解 （1）二 本文整理于网络，仅供阅读参考 次项系数化为 1，移常数项得 ，配方得 ，即直接开平方得∴， ∴原方程的解为 ， （2）二次项系数化为 1，移常数项得方程两 边都加上一次项系数一半的平方得即直接开平方得∴，∴原 方程的解为 ，说明配方是一种基本的变形，解题中虽不常用， 但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行 先把二次项系数化为 1， 并把常数项移到一边； 再在方程两边同时 加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平 方法即可完成解题任务。例 4用公式法解下列方程。 （1） ； （2） 分析用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方 程化成一般形式，然后计算判别式的值，当≥0 时，把各项系数的 值代入求根公式即可得到方程的根。 但要注意当＜0 时， 方程无解。 第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解 的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为 了避免分数运算的繁琐可变形为，求出判别式的值后，再确定是 否可代入求根公式求解。 解 （1） ， 化为一般式 求出判别式的值 ＞0 代入求根公式 ，∴， （2）化为一般式求出判别式的值＞ 0 ∴∴，说明公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简 单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先 明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的 根要进行化简。例 5用分解因式法解下列方程。 （1） ； （2）分析 分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分 解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得 到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是 原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因 本文整理于网络，仅供阅读参考 式；第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。 解 （1）左边分解成两个因式的积得于是可得 ，∴， （2）化简 变为一般式得左边分解成两个因式的积得于是可得 ，∴，说 明使用分解因式法时，方程的一边一定要化为 0，这样才能达到 降次的目的。 把方程一边化为 0， 把另一边分解因式的方法可以用 于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。 从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程 转化， 转化的方法主要为开平方法和使方程一边为 0， 把方程另一 边分解因式，配方，或利用求根公式法另外，在解一元二次方程 时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法， 找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。例 6选 用恰当的方法解下列方程。 （1） ； （2）（3） ； （4）分析第 （1）题可变形为，而后利用直接开平方法较为简便；第（ 2）题 移项后利用分解因式法较为简便；第（3）题化为一般式后可利用 求根公式法解答；第（4）题采取配方法较为简便。解 （1）整理 得 直接开平方得 ∴， （2） 分解因式得 ∴， （3） 整理得 求 出判别式的值＞0∴，∴， （4）配方得直接开平方得∴，总 结直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的 方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定 要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应 先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公 式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了， 所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他 数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之 本文整理于网络，仅供阅读参考 一。最常