_应力讲解

第二章第二章应力分析应力分析 研究弹性力学问题要从三方面规律（条件） 平衡、几何、物理来建立，本章就是研 究第一个规律平衡规律。 第第 1 1 节节内力和外力内力和外力 1.11.1外力外力 物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械 力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于 机械力中的体力和面力的范围。 1． 外部体力作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力） 。 量纲力/（长度）3。 求 V 中任意点 P 上承受体力采用极限方法 X X3 3 F F X X3 3 F F P P V V X X2 2 P P S S X X2 2 X X1 1 X X1 1 其中 lim V0   F   f  f iei  f xi  fy j  f z k  Xi Yj Zk V f x , f y , f z 为沿三个坐标轴分量。 2. 外部面力作用在物体外部表面力，如静水压力、土压力等。量纲力/（长度）2。 求物体表面上任意一点 P 上受面力仍采用极限方法    F  F iei  Fxi  Fyj  Fzk  Xi Yj  ZkP lim  S0  S 1.21.2内力内力 物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。在材力和结力中以N N、 、MM、、Q Q 形式 出现，但在弹力中以应力来描述。 1 第第 2 2 节节应力和应力张量应力和应力张量 2.12.1应力应力 当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵 抗力）内力，为了描述物体内任意点 P 的内力可采取如下方法 过 P 点设一个截面 S 将 V 分为两部分 （作用力与反作用力） 一部分V、S、外法线 n、合力F ；  另一部分V、S、外法线n、合力 F； n n V V  S S P P F FF F- - n n V V S S  V V- - n n- - S S- - F F         截面上的合力F F 0或 F F  截面上 P 点上的内力情况，在V上S 面围绕 P 点取S，S 上合力为F。  应力矢量（作用在V） tn  应力矢量与 P 点位置有关，与截面方向（n方向）有关。 （应力矢量具有 一个方向性） 。量纲为力/（长度）2。      F  F -lim t n，作用在 V-上。 取Vtn lim  S  S0  S  S0    F m il  S  S0   当 P 点的截面与坐标面平行时，n ei，t n t i 。   定理定理 2.12.1过P 点以n为单位外法线截面上的应力矢量，t n 是作用在通过 P 点坐标   平面的应力矢量t 1 t x 、t 2 t y 、t 3 t z 的线性函数、其系数是n的方向余弦， 2 n 1  n x l、n 2  n y  m、n 3  n z  n。即 x3  t n  t i n i  t 1 n 1 t 2 n 2 t 3 n 3  t xl ty mt z n  A B C   S, P B C  n 1  S, f f C -t -t1 1 n n t tn n B x2 -t -t2 2 P A PAC  n 2S, PAB  n 3 S, x1-t -t3 3   tn S ti Si f V 0   Si ni S 代入上式，并忽略高阶微量而 ti ti,  tn S tini S  0 或 展开为 或  t n  n i t i  tn t1n 1 t2n2t3n3  t n t xl ty mt z n 2.12.1应力张量应力张量 每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为 x1   t 1  t x  11e1  12e2  13e3  xxex  xyey  xzez  1j e j  xjej x x3 3zz x x2 2yy  13 13  12 12 t t1 1  11 11x x xx 1 1 3 同理，得   t 2  t y  21e1  22e2  23e3  yxex  yyey  yzez  2 j e j  yjej   t 3  t z  31e1  32e2  33e3  zxex  zyey  zz e z  3 j e j  zj e j  沿三个坐标面的应力矢量t i 由九个元素分量表示,这九个分量组成一个二阶张量  11  12  13   xx  xy  xz  x  xy  xz       21  22  23    yx  yy  yz   yx  y  yz （1）     31  32  33   zx  zy  zz zx  zy  z  这九个分量的两个下标第一个表示应力矢量作用面的法线方向，第二个下标表示 应力矢量的分量的方向。 应力分量的正负在正面上应力分量指向坐标正向为正，反之为负；在负面上的应 力分量指向坐标负向为正，反之为负。 矩阵中，对角线元素 ij i  j代表以 i 轴为法线的平面上的正应力。非对角线元素  ij i  j代表以 i 轴为法线的平面上沿 j 轴方向的剪应力。 矩阵（1）中，由于 xy  yx ， xz  zx ， zy  yz ；即， ji  ij ，所以矩阵中 9 个 应力分量中独立的分量只有 6 个. 3.2.3.2.主平面、主轴、主应力主平面、主轴、主应力 3.2.13.2.1、一点的应力状态、一点的应力状态 由于 由  t n t xl ty mt z n ， 即，tn  t xlx t yly  t zlz x  X  0t 由 Y  0 t 由 Z  0 t t i i 的分量（  xlx  yxly  y  yly 