浙江专用2021版新高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数2第2讲函数的单调性与最值教学案

函数的单调性与最值第2讲 ．函数的单调性1 单调函数的定义1 减函数增函数DIxIf上的任的定义域为内某个区间一般地，设函数如果对于定义域xx ，意两个自变量的值21 xx定义时，都有当21xxxfxf那么就说函数当时，都有，2211fxfx，那么就说函数21 fxD上是增函数在区间fxD上是减函数在区间 图象 描述 自左向右看图象是下降的 自左向右看图象是上升的 2单调区间的定义xDyfyfx在这一区间具上是增函数或减函数，那么就说函数在区间如果函数＝＝xyfD ＝叫做函数有严格的单调性，区间的单调区间． 2．函数的最值 MxI yf 前提的定义域为设函数满足＝，如果存在实数MxxMxIfxIf 1； 对于任意∈1对于任意≥∈，都有，都有；≤Ix Ix 存在，使得∈∈，使得 2存在条件200fxM fxM ＝＝0为最小结为最大 [疑误辨析] 判断正误正确的打“√”，错误的打“” fxfffx在R上为增函数． －1 3，则函数 上的函数1若定义在R，有yfxfx的单调递增区间是[1∞上是增函数，则函数，＋函数2＝[1在，＋∞． 1y＝的单调递减区间是－∞，0∪0函数3，＋∞． x 1 4所有的单调函数都有最值． 5如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数． 6闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． 答案1 2 3 4 5 6√ [教材衍化] 2xxfx ．＝的单调递增区间是－1P39B组T1改编函数2________1．必修 ∞1，＋[1，＋∞或答案kbkxy的取值范围是R＋改编若函数上是减函数，则＝2在＋12．必修1P32T4 ．________1kbkykx. ＜－1＜＋0在R上是减函数，所以解析因为函数2＝2，即＋1＋ 21，－∞－ 答案 22xffxx，________，则已知函数例4改编的最大值为，＝，∈[26]．3必修1P31 x1－ 最小值为__________．2xfxfxff＝，2＝解析可判断函数26]＝在[2，上为减函数，所以＝ minmaxx1－2f. ＝6 52 2 答案 5] 易错纠偏[ 求单调区间忘记定义域导致出错；1 2利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解； “在区间上单调”两个概念．3混淆“单调区间”与2xy ________＝log．－4的单调递减区间为1．函数1 2 ∞，＋答案2afyfxafa的取值范2]2，上的减函数，且，则实数＋1．函数22＝[是定义在－ 围是．________aa，1≤2，－3≤≤2－≤1＋aa，≤2－2≤，≤21－≤1 即解析由题意得aaa1.12＋，a1. ≤所以－1 2 1 1，答案[－2axfxxa的取值4]若函数3．1上是减函数，则实数－＝∞＋2，－1＋2在区间 范围是________；2axxfxa ＝的值为＋2________－1，2若函数＋2的单调递减区间为－∞4]，则．a3 3 2答案1－≤－ 高频考点 确定函数的单调性区间使特别是导数的引入，函数单调性的判断、证明及单调区间的求法是每年高考的热点， 函数单调性成为每年必考内容．主要命题角度有 求函数的单调区间；1 判断或证明函数的单调性．2 求函数的单调区间角度一 2xxfx 1的单调区间．＋2| 2020杭州七校联考求函数|＋＝－ 2xxx，0－，＋2≥＋1xf ＝【解】 2xxx，－－20＋1，2xx，0≥）＋2，－（1－ ＝2xx0.）＋2，－（＋1，[0－画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为∞，－1]和 ，＋0]和[1∞．，单调递减区间为1][－1， 2xxfx 变条件 若将本例中函数变为＋|＝－1|＋2，如何求解 2yyxx的图象如图所示．由图象可知，函数＋1|＝|－＋解函数22xx；单12和，＋1的单调递增区间为＋1|1∞－2，|＝－2＋＋ ＋2．1－2和1，1调递减区间为－∞， 判断或证明函数的单调性角度二a axfx ，＋∞上的奇函数．0＋＋ln 为定义在－∞，0 设函数∪＝xa 求实数的值；1xf 上的单调性，并用定义法加以证明．在区间1，＋∞判断函数2aaxfx ∪∞，00，＋∞上的奇函数，－ln ＝1【解】 因为＋＋为定义在xxfxf ＝－－所以， 3 aaaxaxaln ＋＋ ln ＝0所以－，＝－，所以－＋ln xxa1. ＝所以1xfx ＝上是增函数．＋在区间21，＋∞xxx 证明如下设1＜，＜21xxxx11－－12211xxfxxxxxfx. －＝＝－－＋＝则－－－22211211xxxxxx221121xx1－21xxxx0. ＜0＜，，所以＞＜因为1－2112xx21xfffxfxx ．＜＜0，即所以－2211xf 上是增函数．，＋在区间所以1∞ 确定函数单调性的4种方法 1定义法利用定义判断． 2导数法适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． 3图象法由图象确定函数的单调区间需注意两点一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． 4性质法利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． [提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 1．下列四个函数中，在0，＋∞上为增函数的是 2xxxxfxf －3＝－＝3B A． ．1xxffx| ．＝－C．|＝－ Dx1＋xfxx为减函数； 3－解析选C.当0时，＝32fxxxx，0为减函数，3＝时， 当－∈232fxxxx∞，＋为增函数； 时，－当∈3＝21xfx为增函数； 时，当＝－∈0，＋∞x＋1xfxx|为减函数．＝－，＋0∞时，|当 ∈2xxfx －8的单调递增区间是2．函数＝ln2－1 ，－． 2 ∞A．－，－ B∞ 4 ，＋∞ C．1，＋∞D．422xxxxxfxx的定义8ln解析选D.由＝－2－80，得－