2020版高考大题增分课4立体几何中的高考热点问题

（四）立体几何中的高考热点问题（四）立体几何中的高考热点问题 [命题解读]1.立体几何是高考的必考内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空 题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的 模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相 结合考查几何体的计算． 2．重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力．考查的热点是以几 何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思 想与数形结合的思想方法． 线面位置关系与体积计 算 以空间几何体为载体，考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容，并常与几何体的体积 计算交汇命题，考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力，同时突出转化与化归思 想方法的考查，试题难度中等． 【例 1】本小题满分 12 分2019哈尔滨模拟如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD. 1证明平面 AEC⊥平面 BED； 6 2若∠ABC＝120，AE⊥EC，三棱锥 E-ACD 的体积为 3 ，求该三棱锥的侧面积． [信息提取]看到四边形 ABCD 为菱形，想到对角线垂直； 看到三棱锥的体积，想到利用体积列方程求边长． [规范解答]1证明因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，所以 AC⊥BE. 因为 BD∩BE＝B，故 AC⊥平面 BED. 又 AC⊂平面 AEC， 所以平面 AEC⊥平面 BED.4 分 2 分 3x 2设 AB＝x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC＝120，可得 AG＝GC＝ 2 x，GB＝GD＝2. 3 因为 AE⊥EC，所以在 Rt△AEC 中，可得 EG＝ 2 x. 2 由 BE⊥平面 ABCD，知△EBG 为直角三角形，可得 BE＝ 2 x. 6 分 116 3 6 由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 V 三棱锥 E- ACGDBE＝x ＝ ACD＝ 32243 ，故 x＝2. 从而可得 AE＝EC＝ED＝ 6. 所以△EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3＋2 5.12 分 9 分 [易错与防范]易错误区1.在第1问中，易忽视条件BD∩BE＝B.AC平面 AEC 等条件， 推理不严谨，导致扣分． 2．在第2问中，需要计算的量较多，易计算失误，或漏算，导致结果错误． 防范措施1.在书写证明过程中，应严格按照判定定理的条件写，防止扣分． 2．在计算过程中，应牢记计算公式，逐步计算，做到不重不漏． [通性通法]空间几何体体积的求法 1若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其 中，等积转换法多用来求三棱锥的体积． 2若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几 何体，再利用公式求解． 3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件 求解． 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． 1证明MN∥平面 PAB； 2求四面体 N-BCM 的体积． 2 [解]1证明由已知得 AM＝3AD＝2. 1 取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TN∥BC，TN＝2BC＝2. 又 AD∥BC，故 TNAM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN∥AT. 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB. 1 2因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以点 N 到平面 ABCD 的距离为2PA.取 BC 的 中点 E，连接 AE.由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC，AE＝ AB2－BE2＝ 5. 1 由 AM∥BC 得点 M 到 BC 的距离为 5，故 S △BCM＝24 5＝2 5. 1PA4 5 所以四面体 N-BCM 的体积 VN-＝ S △ BCMBCM32 ＝ 3 . 求点到平面的距离几何体的高 求点到平面的距离几何体的高涉及到空间几何体的体积和线面垂直关系， 是近几年高考考 查的一个重要方向，重点考查学生的转化思想和运算求解能力． 【例 2】2019开封模拟如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且∠DAB＝ 60，PA＝PD，M 为 CD 的中点，平面 PAD⊥平面 ABCD. 1求证BD⊥PM； 2若∠APD＝90，PA＝ 2，求点 A 到平面 PBM 的距离． [解]1证明取 AD 中点 E，连接 PE，EM，AC， ∵底面 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC， ∵E，M 分别是 AD，DC 的中点， ∴EM∥AC，∴EM⊥BD. ∵PA＝PD，∴PE⊥AD， ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴PE⊥平面 ABCD，∴PE⊥BD， ∵EM∩PE＝E，∴BD⊥平面 PEM， ∵PM平面 PEM，∴BD⊥PM. 2连接 AM，BE，∵PA＝PD＝ 2，∠APD＝90，∠DAB＝60，∴AD＝AB＝BD＝2，PE 1 ＝1，EM＝ AC＝ 3， 2 ∴PM＝PB＝1＋3＝2. 在等边三角形 DBC 中，BM＝ 3， 391139 ∴S △PBM＝4 ，S △ABM＝22 3＝ 3.设三棱锥 A -PBM 的高为 h，则由等体积可得34 1 h＝3 31， 4 13 ∴h＝ 13 ， 4 13 ∴点 A 到平面 PBM 的距离为 13 . [规律方法]求点到平面的距离几何体的高的两种方法 1等积法利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解. 2定义法其步骤为一作、二证、三求.如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利 用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在 辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点． 1证明PB∥平面 AEC； 3 2设 AP＝1，AD＝ 3，三棱锥 P-ABD 的体积 V＝ 4 ，求点 A 到平面 PBC 的距离． [解]1证明设 BD 与 AC 的交点为 O，连接 EO. 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点． 又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥PB. 因为 EO⊂平面 AEC，PB⊄平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC. 1333 2三棱锥 P-ABD 的体积 V＝6PAABAD＝ 6 AB， 由 V＝ 4 ， 可得 AB＝2.由题设知 BC⊥AB， BC⊥PA，所以 BC⊥平面 PAB，在平面 PAB 内作 AH