2014高中数学 一题多变一题多解特训四

一题多解和一题多变（四） 题型一一题多解22yx1PFPFF、F椭圆下面结论正确的是满足的焦点是题目，，椭圆上一点P 22111625 ）（ 点有四个（A）P点有两个 （B）P 存在C）P点不一定存在 （D）P点一定不（ 解法一FFbrc34D ，即圆与椭圆不可能有交点。故选为直径构圆，知圆的半径以21 解法二1216tanbSSFFb3412，不可能成由题知，而在椭圆中 FpFF2max1PF422112,1612D 立故选 解法三32PFFPFFtan,1,此时点在短轴端点处最大，设，由题意知当p 211244PFFD 为锐角，与题设矛盾。故选21 四解法,PFPF4P5consin,0PFPFPFPF，而知设，由212121 7222043,sincon25con916sin5PFPFcon3,4sin5con 219D 无解，故选 五解法PFPFFPF6is6nn6||PF||PF6csi2n2o，，假设，则设 221121410PF|a|||PF2 而212610D 即，不可能。故选解六法1 22222|PF||PF|3664||PF|2|PF|PF|PF|||PF|36|PF22212111conFPF 21|||PFPF|2|PF|PF||PF|2|PF||21221173232320111 ， |PF|||PF25|25||PF|PF22121 2PF90FPFPFD 故不可能。故选2112yPx,由焦半径知设法七解0033PFPF,ex5xex,|a5x|PF|aPF| 2100102055625331822222222|FF||PF||PF|x50xx5x105 212100009255525x 3255|x|||x8D 而,故不符合题意，故选而在椭圆中 003. 解法八22yx2219xy 椭圆方程为设圆方程为 1625 两者联立解方程组得22162525y16x2216x2516x259 272525162599x7252x 9 不可能22yx2219xy 故圆无交点与椭圆 1625PFPF 不可能垂直即 21D 选故 题型二一题多变2 22yx0a1bC02,2,1FM. ，且左焦点为过点设椭圆 22baC 的方程；（1） 求椭圆4,1PQA,BClAB，满足上取点相交于两不同点的动直线2） 当过点时，在线段与椭圆（ PBAAQBQ. 证明点总在定直线上.22yx1 ；主要第（2）题证明如下（过程略）解答第（1）题易得椭圆方程为 24 P B Q A yxyQ,B,x,yA,x, 如图，设的相似得，由三角形001221 BPAPx44x 21PBQBAPAQ xxxxQBAQ00120 xxx2x4x8x 化简得00221122yx1,xy1k4必存在）代入椭圆方程（k， 现设直线 242222016k16k24kx12k32xk 得222k32k16k164kxxxx, 由韦达定理，得 212122k22k1126k4k1yx 式，化简得，代入直线方程，得代入 0022kk022xyk ，得两式联立，消去，00yQ,x0y22x. 得证即点在定直线上，o0 2222nxym221,C1mn0nPm,l与椭（其中设椭圆，当过点）的动直线1变 2222bbaa3 APQBAQPBQA,BCAB ，满足上取点圆时，在线段相交于两不同点mxny1Q上在定直线证明点. 22ab2222nyxm22l110,mnCnmP,与双变2设双曲线，过点）的动直线（其中 2222 abab AQBAPBQBA,CAB 上取点曲，满足相交于两不同点，在线段mxny1Q上证明点. 在定直线 22ab22axby1ab0，且证明这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（ ynkxmab0）k不存在的情况需不同时小于（注当（注实际上还可包括圆）；设直线y，得 另行证明，这里略），两式联立，消去222222012knmxbkkmnbabkmx2bkbn 22222kmnbm2bkbnm2bknbk1xx,xxyA,x,yx,B 设，得 2211212122abkabk APQBAQPByxQ,PAB外，点在线段，由条件现设知，不失一般性，在图象中，00 A,Q,B,P，故由三角形的相似得从左到右这四个字母的顺序是 mxmx2102mx2xxmxxx ，即 011220 xxxx020122bnam1xm 式，化简得现韦达定理代入 0kbnamam22bnam1222 ambn11ambnnyk 0amkbnkbnambn2am1yam 0bn1bnyamx ，化简得 00 xmbn0yxQ,amxbny1上，得证在直线. 点00 22lpm2p2px0nCy,PmnC相变，当过点与抛物线设抛物线3（其中）的动直线4 APQBAQPBQ,BAAB ，在线段上取点，满足交于两不同点nypxmQ上. 在定直线证明点 202pm2pky2pknynyxmk ，代入抛物线方程，得证明设直线pm22pknpk,yByx,yyyA2x,y, ，得设22112211 PBAQAPQByxQ,ABP外，不失一般性，在图象中，现设点在线段，由条件知，00P,,BA,Q ，故由三角形的相似得从左到右这四个字母的顺序是 APBPnyny210y2yyyny2yn ，即 012021yyyyQBAQ01202n2pm 现韦达定理代入式，化简得ny 0kpn3npmnmn 22n2pmnpmpxmk 0kpnpkpn2ny2npm0