11热力学统计物理第四版汪志诚_答案要点

第一章热力学的基本规律 1.11.1 试求理想气体的体胀系数试求理想气体的体胀系数, ,压强系数压强系数和等温压缩系数和等温压缩系数  。。 解已知理想气体的物态方程为 pV  nRT, （1） 由此易得  1 V  nR1 , （2）  VT p pVT 1  p  nR1 , （3）  pTVpVT   T      2  . （4） V  p T  Vp  p 1 V   1  nRT 1 1.21.2 证明任何一种具有两个独立参量证明任何一种具有两个独立参量T, p的物质，的物质， 其物态方程可由实验测其物态方程可由实验测 得的体胀系数得的体胀系数及等温压缩系数及等温压缩系数  ，根据下述积分求得，根据下述积分求得 lnV αdT κTdp 如果如果 ,T 1 T 1 ，试求物态方程。，试求物态方程。 p 解以T, p为自变量，物质的物态方程为 V VT, p, 其全微分为 V  V  dV   dT   dp. （1）  T p  p T 全式除以V，有 dV1 V 1 V    dT   dp.  VVT p V  p T 根据体胀系数和等温压缩系数 T 的定义，可将上式改写为 dV dT Tdp. （2） V 1 上式是以T, p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 lnV dT Tdp. （3） 若 , T  ，式（3）可表为  11  lnV   dT dp. （4） p T 1 T 1 p 选择图示的积分路线，从T 0 , p 0 积分到T, p0，再积分到（T, p） ，相应地体 积由V 0 最终变到V，有 ln VTp lnln, V 0 T 0 p 0 即 pVp 0V0 ，  C（常量） TT 0 或 p V 1 T 1 p C .T （5） 式（5）就是由所给 , T  求得的物态方程。 确定常量 C 需要进一步的 实验数据。 2 1.41.4 在在0 C和和 1 1 p n 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 今使铜块加热至今使铜块加热至10 C。。 4.85105K1和 T  7.8107p n 1.和 T 可近似看作常量，可近似看作常量， 问问 （（a a）压强要增加多少）压强要增加多少p n 才能使铜块的体积维持不变才能使铜块的体积维持不变 （（b b）若压强增加）若压强增加 100100p n ，铜块的体积改变多少，铜块的体积改变多少 a）根据 1.2 题式（2） ，有 dV dT Tdp. （1） V 上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV，温度差dT和压强差dp之 间的关系。如果系统的体积不变，dp与dT的关系为 dp   dT. （2）  T 在和 T 可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得 p 2  p 1   T T.（3）  T 21 将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态 和终态的压强差和温度差满足式（3） 。 但是应当强调，只要初态V, T 1 和终 态V, T 2是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3） 。 这是因为，平 衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历 史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热 过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只 要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3） 。 将所给数据代入，可得 4.85105 p 2  p 1 10  622p n. 77.810 因此，将铜块由0 C加热到10 C，要使铜块体积保持不变，压强要增强622p n （b）1.2 题式（4）可改写为 V T 2 T 1  T p 2  p 1 .（4） V 1 将所给数据代入，有 3 V  4.85105107.8107100 V 1  4.07104. 因此，将铜块由0 C加热至10 C，压强由1p n 增加100p n ，铜块体积将增加原体 积的4.07104倍。 1.71.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界 压强压强p 0 时将活门关上，试证明小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，时将活门关上，试证明小匣内的空气在没有与外界交换热量之前， 它的内能它的内能U与原来在大气中的内能与原来在大气中的内能U 0 之差为之差为U U 0  p 0V0 ，其中，其中V 0 是它原来在是它原来在 大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。 解将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能 U 与其原来在 大气中的内能U 0 由式（1.5.3） U U 0 W Q （1） 确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，Q  0.过程 中外界对系统所做的功可以分为W 1 和W 2 两部分来考虑。一方面，大气将系统 压入小匣，使其在大气中的体积由V 0 变为零。由于小匣很小，在将气体压入 小匣的过程中大气压强 p 0 可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静 态的） 。过程中大气对系统所做的功为 W 1  p 0V  p0V0. 另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外 界也就没有功交换，则 W 2  0. 因此式（1）可表为 U U 0  p 0V0. （2） 如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10） ，有 p 0V0  nRT, （3） U 0 U  C V T T 0  nR T T 0 （4） 1 式中n是系统所含物质的量。代入式（2）即有 T T 0. （5） 活门是在系统的压强达到p 0 时关上的， 所以气体在小匣内的压强也可看作p 0 ， 4 其物态方程为 p 0V  nR T 0. （6） 与式（3）比较，知 V V 0. （7） 1.81.8 满足满足pVn  C的过程称为多方过程，其中常数 的过程称为多方过程，其中常数 n名为多方指数。试证 名为多方指数。试证 明理想气体在多方过程中的热容量明理想气体在多方过程中的热容量C n 为为 C  n  n n1 C V 解根据式（1.6.1） ，多方过程中的热容量 C   Q  lim T0  T     U    p   V  n  . n TnTn 对于理想气体，内能 U 只是温度 T 的函数，