高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲概率初步

第十三讲 概率初步 日常生活中， 我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情， 比如抛掷一枚硬币出 现正面还是反面，明天会不会下雨，欧洲杯谁会夺冠等，这些事情我们称作随机事件， 它们的结果都有不确定性，是无法预知的． 尽管无法预知结果， 但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性 的大小，例如 今天乌云密布，那么明天很有可能下雨； 中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小； 一次投掷 10 枚硬币，出现 10 个正面的可能性非常小． 为了能够更准确的描述这种 “可能性的大小” ， 法国数学家费马和帕斯卡在17 世纪 创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学． （当时他们通过信件讨论了社会 上的两个热点问题掷骰子问题和比赛奖金分配问题） 概率基本概念 概率反应了一个随机事件结果发生的可能性， 例如投掷一枚硬币，正面和反面出 1 现的可能性相同，所以概率均为；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所 2 1 以概率均为． 6 概率是 01 之间用来表示事件可能性大小的一个数值． 1 关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷 1 枚硬币，正面出现的概率为，并 2 1 不是说投掷 2 次一定会有 1 次正面，而是说每次扔都有可能性出现正面． 2 虽然投掷 2 次硬币，不见得正面会出现一半，但是，投掷次数越多，正面出现的比 例越接近一半（例如无论谁投掷 10000 次硬币，正面出现的比例都会很接近0.5） ． （这 个特点在概率论中被称为大数定律） 换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性．基于此，在17 世纪概率刚 创始的年代，人们提出了古典概率模型． 古典概率模型 古典概率模型是最简单的概率计算模型， 它的想法非常简单，用“条件要求的情况 总量”除以“全部情况数量”即可． 它所包含的等可能情况数量 全部等可能情况的数量 某一随机事件发生的概率 古典概型中，第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个全部情况的数量是有限个” ，下面我们先用几个 ．．．．．．．．．．． 简单例子来看一下古典概型的用法 1．A、B、C 排成一排，共有6 种排法，其中A 占排头的方法共 2 种，所以A 站排 1 头的概率是． 3 2．从 3 个男生、2 个女生中，随意选出 2 个人去参加数学竞赛，共有 10 种方法， 3 其中选出 2 个男生的方法数有 3 种，所以选出 2 个男生的概率是． 10 3．3 个男生、2 个女生站成一排照相共有 120 种站法，其中女生互不相邻的站法 3 共 72 种，所以 3 男、2 女站成一排，女生互不相邻的概率是． 5 上面的例子都比较简单， 因为计算概率所需要的两个数都非常好算， 接来下我们再 看几个例子， 从这几个例子中， 大家要能体会到古典概型的第二个重要条件等可能等可能 ．．． 性性． ． 10 ．4．从 10 个红球、1 个白球中，随意的取出 1 个球，取到红球的概率是 11 11 ，出现 1 正 1 反的概率是，出现 25．投掷两枚硬币，出现 2 个正面的概率是 42 1 反的概率是． 4 3 ．6．从 3 个红球、2 个白球中，随意取出 2 个球，取到 2 个红球的概率是 10 1 正 1 反、 例 4 比较简单， 在例 5 中， 从硬币的结果看， 只有 3 种情况 “2 正、 1 2 反” ，但概率都不是，因为这 3 种结果出现的可能性不同，给硬币编上A 和 B，那 3 A 反 B 正” 么出现 1 正 1 反有两种情况 “A 正 B 反、， 而 2 正和 2 反都只有 1 种情况 （投 掷 2 枚硬币共 4 种情况） ． 而例 6 和例 2 是相同的题目（把红球换成男生，白球换成女生即可） ． 从这 3 个例子可以看出，在计算概率时，不能简单的看有几种最终结果， 因为结果 必须是“等可能”才行（例 4 的结果只有红球和白球两种，但概率显然不相等） ．为了 计算“等可能”的结果，一个简单方法是给每个物体编号，例如例4，假设红球是1 号 到 10 号，白球是11 号，那么显然共有11 种不同取法，其中有10 种取到红球，所以概 10 率是． 11 例题1.4 个男生、 2 个女生随机站成一排照相， 请问（1） 女生恰好站在一起的概率是多少 （2）女生互不相邻的概率是多少（3）男生互不相邻的概率是多少 「分析」「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗 练习 1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖，请问（1）关羽站 在正中间的概率是多少（2）关羽和张飞相邻的概率是多少 （3）关羽和张飞中间恰 好隔着一个人的概率是多少 例题2.一个不透明的袋子里装着 2 个红球，3 个黄球和 4 个黑球．从口袋中任取一个球， 请问 （1）这个球是红球的概率是多少（ 2）这个球是黄球或者是黑球的概率是多 少（3）这个球是绿球的概率是多少；不是绿球的概率是多少 「分析」「分析」首先计算一下取球的总的情况数，再计算问题要求的取球情况数． 练习 2、北京数学学校从集训队中随机选出3 个人去参加比赛， 已知集训队中共有 4 个男生、3 个女生，请问 （1）选出 3 个男生的概率是多少（2）选出 2 男 1 女的 概率是多少 例题3.一次投掷两个骰子，请问 （1）两个骰子点数相同的概率是多少 （2）两个骰子点 数和为 5 的概率是多少（3）两个骰子点数差是1 的概率是多少 「分析」「分析」骰子是一个正方体，每个面上的点数从 1 到 6，可以按题目要求枚举一些 情况，根据枚举结果总结规律计算最后答案． 练习 3、一次投掷 3 枚硬币，请问 （1）出现 3 个正面的概率是多少（2）出现 1 正 2 反的概率是多少 例题4.两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各 1 个，现在从两个盒子中 各取一个球，那么它们同色的概率是多少不同色的概率是多少 「分析」「分析」任取两球它们颜色的可能情况有多少种其中有多少同色情况 练习 4、 一个不透明的袋子里装着2 个红球、 3 个黄球和 4 个黑球． 从中任取两个球， 请问取出 2 个黑球的概率是多少取出 1 红 1 黄的概率是多少取出 1 黄 1 黑的 概率是多少 概率的独立性 如果两个或多个随机事件的结果互不影响，则称它们相互独立，例如 A 买彩票是否中奖和 B 买彩票是否中奖是独立的； 甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的； 如果两个随机事件相互独立，那么它们同时发生的概率是它们单独发生 概率的乘积． 已知他们的命中率分别为0.8 和 0.9， 他们每人开一枪，例题5.神射手和神枪手两人打靶， 那么他们都命中的概率是多少都没命中的概率是多少 「分析」「分析」理解概率独立性，根据独立性解题即可． 需要分步计算的概率问题 有些随机事件， 在发生时有先后顺序， 这时在计算概率时需要分步计算， 这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如 一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各 2 个， 从中先取出 1 个球， 1 然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是，第二次抽 2 1111 到黑球的概率是，所以两次都抽到