高中数学人教A版2019新教材必修第一册全册分章节分课时教学案

第一章集合与函数概念 1.11.1集合集合 1 1．．1.11.1集合的含义与表示集合的含义与表示 第第 1 1 课时课时集合的含义集合的含义 [目标] 1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.记住集合 元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题． [重点] 用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答 相关问题． [难点] 集合元素特性的应用. 知识点一知识点一 元素与集合的含义元素与集合的含义 [ [填一填填一填] ] 1．定义 1元素一般地，把所研究的对象统称为元素，常用小写的拉丁字母 a，b，c，表 示． 2集合把一些元素组成的总体叫做集合简称为集 ，常用大写拉丁字母A，B， C，表示． 2．集合相等指构成两个集合的元素是一样的． 3．集合中元素的特性确定性、互异性和无序性． [ [答一答答一答] ] 1．以下对象的全体能否构成集合 1河北红对勾书业的员工； 2平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； 3一次函数 y＝kx＋bk≠0的图象上的若干个点； 4不超过 2 019的非负数． 提示1能构成集合．河北红对勾书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准， 可以确定出来．所以能构成一个集合． 2“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因 此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合． 3“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构 成集合，故“一次函数 y＝kx＋bk≠0的图象上的若干个点”不能构成一个集合． 4任给一个实数x，可以明确地判断x 是不是 “不超过 2 019 的非负数 ”，即 “0≤x≤2 019”与“x2 019”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 2 019的 非负数”能构成一个集合． 2．若集合 A由 0,1与 x三个元素组成，则 x的取值有限制吗为什么 提示有限制，x≠0 且 x≠1.因为集合中的任意两个元素必须是互异的． 知识点二知识点二元素与集合的关系元素与集合的关系 [ [填一填填一填] ] 如果 a 是集合 A中的元素，就说 a属于belong to集合 A，记作 a∈A；如果 a不是集合 A 中的元素，就说 a不属于not belong to集合 A，记作 a∉A. [ [答一答答一答] ] 3．若集合 A是由元素 1,2,3,4所组成的集合，问 1 与 A,5与 A 有什么关系 提示1∈A,5∉A. 知识点三知识点三常用数集及表示常用数集及表示 [填一填] [ [答一答答一答] ] 4．常用的数集符号 N N，N N*，N N＋有什么区别 提示1N N 为非负整数集即自然数集，而 N N*或 N N＋表示正整数集，不同之处就是 N N 包括元素 0，而 N N*或 N N＋不包括元素 0. 2N N*和 N N＋的含义是一样的，初学者往往误记为 N N*或 N N＋，为避免出错，对于 N N*和 N N ＋可形象地记为“星星*在天上，十字架＋在地下”． 5．用符号“∈”或“∉”填空． 11∈N N*；2－3∉N N； 1 3 ∈Q Q；4 3∉Q Q； 3 1 5－ ∈R. 2 类型一类型一集合的概念集合的概念 [例 1]下列所给的对象能构成集合的是________． 1所有的正三角形； 2高一数学必修 1 课本上的所有难题； 3比较接近 1 的正数全体； 4某校高一年级的 16岁以下的学生； 5平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合； 6参加里约奥运会的年轻运动员． [答案]145 [解析]1能构成集合．其中的元素需满足三条边相等； 2不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合； 3不能构成集合．因“比较接近 1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集 合； 4能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”； 5能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1 的点”； 6不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合． 判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标 准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以. [变式训练 1]下列对象能组成集合的是D A． 3的所有近似值 B．某个班级中学习好的所有同学 C．2018年全国高考数学试卷中所有难题 D．屠呦呦实验室的全体工作人员 解析D 中的对象都是确定的，而且是不同的． A 中的“近似值”，B 中的“学习 好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合． 类型二类型二集合中元素的特性集合中元素的特性 命题视角命题视角 1 1集合元素的互异性集合元素的互异性 [例 2]已知集合 A中含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A，求实数 a 的值． [分析]本题中已知集合 A 中有两个元素且 1∈A，根据集合中元素的特点需分a＝1或 a2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性． 根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性 对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的 应用． [解]若 1∈A，则 a＝1或 a2＝1，即 a＝1. 当 a＝1时，a＝a2，集合 A 有一个元素，∴a≠1. 当 a＝－1 时，集合 A 含有两个元素 1，－1，符合互异性． ∴a＝－1. 当一个集合中的元素含字母时，可根据题意结合集合中元素的确定性求出集合中字母 的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验. [变式训练 2]1若集合 M 中的三个元素是△ ABC 的三边长，则△ ABC 一定不是 D A．锐角三角形 C．钝角三角形 C A．1B．－2C．6D．2 解析1集合中任何两个元素不相同． 2由题意知 a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得 a≠2，且 a≠1.结合选项知 C 正确．故 选 C. B．直角三角形 D．等腰三角形 2由 a2,2－a,4 组成一个集合 A，且集合 A 中含有 3 个元素，则实数 a 的取值可以是 命题视角命题视角 2 2集合元素的无序性集合元素的无序性 b [例 3]集合 A 中含有三个元素 0， ，b，集合 B 中含有三个元素 1，a＋b，a，若 A， a B 两个集合相等，求 a2 019＋b2 019的值． [分析]由两个集合相等，所含元素相同列出 a，b 的关系式，解出 a 与 b，再求 a2 019 ＋b2 019的值． b [解]由两个集合相等易知a≠0，a≠1，故 a＋b＝0，且 b＝1 或 ＝1. a 若 b＝1，由 a＋b＝0得 a＝－1，经验证，符合题意； b 若 ＝1，则 a＝b，结合 a＋b＝0，可知 a＝b＝0，不符合题意．综上知 a＝－1，b＝1. a 所以 a2 019＋b2 019