高中数学内切球与外接球习题讲义教师版

立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究 1 1 球与柱体球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合， 以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然 后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.11.1球与正方体球与正方体 如图 1 所示，正方体ABCD  A 1B1C1D1 ,设正方体的棱长为a，E,F,H,G为 棱的中点，O为球的球心。 常见组合方式有三类 一是球为正方体的内切球， 截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则OJ  r  a 2 ； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 EFHG和其外接圆，则 OG  R  2 2 a； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 ACC 1 A 1 和其外接圆，则 A 1O  R  3a 2 . 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截 面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位 置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平 面问题 。 例例 1 1棱长为 1 的正方体ABCD  A 1B1C1D1 的 8 个顶点都在球O的表面上， E，F分别是棱AA 1 ，DD 1 的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（） A. 2 B.1 C.1 2 22 D. 2 1.21.2球与长方体球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在 内切球.设长方体的棱长为 a,b,c,其体对角线为l.当球为长方体的外接球 时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一 样的，故球的半径R  la2b2c2 2  2 . 例例 2 2 在长、宽、高分别为2，2，4 的长方体内有一个半径为 1 的球，任意 摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为 A.10π 3 B.4πC.8π 3 D.7π 3 1.31.3球与正棱柱球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例， 介绍本类题目的解法构造直角三角形法。设正三棱柱 ABC  A 1B1C1 的高 为h，底面边长为a，如图2 所示，D和D 1 分别为上下底面的中心。根据几 何体的特点，球心必落在高DD h3 1的中点 O，OD  2 ,AO  R,AD  3 a，借助直 2 2 角三角形AOD的勾股定理，可求R    h  3  2     a  3  。  例例 3 3 正四棱柱ABCD  A 1B1C1D1 的各顶点都在半径为R的球面上， 则正四棱柱 的侧面积有最值，为 . 2 2 球与锥体球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充 分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和 高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.12.1 球与正四面体球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且 两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。 如图如图 4 4，设正四面体，设正四面体S  ABC的棱长为的棱长为a，内切球半径为，内切球半径为r，外接球的半径为，外接球的半径为 R，取AB的中点为D，E为S在底面的射影，连接CD,SD,SE为正四面体的 高。在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆，即 为内切球的截面。 因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O。此时， CO  OS  R,OE  r,SE  2 a,CE  3 a,则有 则有 2 2 33 Rr  3 a，R2r2 CE 2 a 3 ， 解 得R  6 4 a,r  6 12 a.这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个 球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的 四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便. 例例 4 4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正 四面体的高的最小值为 A. 3 2 62 62 64 3 2 6 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 3 球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离 的 3 倍.] 2.22.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥 的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方 体。常见两种形式 一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它 的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图 5，三棱锥A 1  AB 1D1 的 外接球的球心和正方体ABCD  A 1B1C1D1 的外接球的球心重合， 设AA 1  a，则 R  3 2 a。 二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长 方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，R2  a2b2 c2 4  l2 4 （l 为长方体的体对角线长 ） 。 例例 5 5在正三棱锥 S  ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM  MN , 若 侧 棱 SA  2 3 , 则 正 三 棱 锥 S  ABC 外 接 球 的 表 面 积 是。 2.32.3球与正棱锥球与正棱锥 球与正棱锥的组合，常见的有两类， 一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截 面图的特点，可以构造直角三角形进行求解. 二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四 个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R.这样求球的半径可转 化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥 的体积和为正三棱锥的体积. 例例 6 6 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PBPC 3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的 角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（） A. B.  C. 4D. 4 33 2.42.4 球与特殊的棱锥球与特殊的棱锥 球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用 截面法、补形法、等进行求解。 例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何 特征，巧定球心位置。 如图 8，三棱锥S  ABC,满足SA 面ABC ，AB  BC，取SC的中点为O，由直角 三角形的性质可得OA  OS  OB  OC,所以O点为三棱锥S  ABC的外接球 的球心,则R  SC 2 . 例例 7 7 矩形 ABCD中，AB  4,BC 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D,则四面体ABCD的外接球的体积是 A. 125 12  B.