高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题

八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直类型一、墙角模型（三条线两个垂直, ,不找球心的位置即可求出球半径）不找球心的位置即可求出球半径） P P P P P P O O2 2 P P c c A A a a B B b b C C c c C C A A b b a a B B c c C C A A b b a a B B A A a a B Bb b c c C C 图图1 1图图2 2 222 图图3 3 2 图图4 4 方法找三条两两垂直的线段,直接用公式2R  a b c,即2R a2b2c2,求出R 例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是（ C） A．16 B．20 C．24 D．32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为 3,则其外接球的表面积是 9 解（1）V  a h 16,a  2,4R  a  a  h  4 416  24,S  24,选 C； （2）4R  333 9,S  4R 9 （3）在正三棱锥S  ABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点,且AM  MN,若侧棱SA  2 3,则正 三棱锥S  ABC外接球的表面积是。36 解引理正三棱锥的对棱互垂直正三棱锥的对棱互垂直。证明如下 如图（3）-1,取AB,BC的中点D,E,连接AE,CD,AE,CD交于H,连接SH,则H是底面正三角形 22 22222 ABC的中心,SH 平面ABC,SH  AB, AC  BC,AD BD,CD  AB,AB 平面SCD, AB  SC,同理BC  SA,AC  SB,即正三棱锥的对棱互垂直, 本题图如图（3）-2,AM  MN,SB//MN, A A D D B B S S AM  SB,AC  SB,SB 平面SAC, SB  SA,SB  SC,SB  SA,BC  SA, SA平面SBC,SA SC, 故三棱锥S  ABC的三棱条侧棱两两互相垂直, C C H H E E S S 33题题-1-1 MM 2R2 2 322 322 32 36,即4R236, A AC C N N B B 33题题-2-2 正三棱锥S  ABC外接球的表面积是36 （（4 4））在四面体S  ABC中,SA  平面ABC,BAC 120 ,SA  AC  2, AB 1,则该四面体的外接球  1040 D. 33 （（5 5））如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是 的表面积为（ D ）A.11B.7C. （（6 6））已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何 体外接球的体积为 解析解析 （4）在ABC中,BC  AC  AB 2ABBCcos120  7, 222 BC 7,ABC的外接球直径为2r  BC72 7 , sinBAC33 2 2R2 2r2 SA2 402 7 2 40 ,S ,选D D 4  333  （5）三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,cR）,则 ab 12  22222 bc  8,abc  24,a 3,b  4,c  2,2R  a b c  29,S  4R  29, ac  6  2 （6）2R  a b c  3,R  2222 33 ,R  24 P P 443 33 V R3, , 3382 A A 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设如图 5,PA平面ABC 解题步骤 第一步将ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直 P P 径AD,连接PD,则PD必过球心O； 第二步O 1 为ABC的外心,所以OO 1 平面ABC,算出小圆O 1 的半 A A O O1 1 B B C C B B O O C C D D 径O 1D  r （三角形的外接圆直径算法利用正弦定理,得 1abc  2r）,OO 1 PA； 2sin AsinBsinC 第三步利用勾股定理求三棱锥的外接球半径①2R  PA  2r 2R  22 ②R  r  OO 1 R  2 图图5 5 222PA22r2 ； r2OO 1 2 2．题设如图 6,7,8,P的射影是ABC的外心三棱锥P  ABC的三条侧棱相等三 棱锥P  ABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点 P PP P P P P P O O C C A AO O1 1 B B D D A A C C O O O O C C C C O O O O1 1B B A A O O1 1 B B A A B B O O1 1 图图6 6图图7-17-1 P P 图图7-27-2 P P 图图8 8 P P A A B B O O2 2 D D O O C C A A B B O O2 2 O O C C A A O O2 2 B B O O D D 图图8-18-1图图8-28-2图图8-38-3 解题步骤 第一步确定球心O的位置,取ABC的外心O 1 ,则P,O,O 1 三点共线； 第二步先算出小圆O 1 的半径AO 1  r,再算出棱锥的高PO 1  h（也是圆锥的高）； 第三步勾股定理OA  O1A O1O R  h R  r ,解出R 方法二方法二 小圆直径参与构造大圆。 例 2一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 C A． 3 B． 2 C． 222222 16 D．以上都不对 3 2222 解选 C, 3  R 1 R,32 3R  R 1 R, 4 2 3R  0, R  216 2 ,S  4R   33 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直） P P P PP P P P O O O O O O A A B B C C A A B B O O1 1 C C A A B B O O1 1 C C A A B B O O1 1 C C 图图9-19-1图图9-29-2图图9-39-3图图9-49-4 1．题设如图 9-1,平面PAC 平面ABC,且AB  BC（即AC为小圆的直径） 第一步易知球心O必是PAC的外心,即PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC  2r； 第二步在PAC中,可根据正弦定理 abc  2R,求出R sin Asin