高中数学解题的思想方法

高中数学解题的思想方法（经典）高中数学解题的思想方法（经典） 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只 是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法 的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问 题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查 ①① 常用数学方法配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；常用数学方法配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②② 数学逻辑方法分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；数学逻辑方法分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③③ 数学思维方法观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；数学思维方法观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④④ 常用数学思想函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。常用数学思想函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的 推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认 识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。 数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数 学素质的综合体现就是“能力”。学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助大家掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，咱们就先介绍高考中常用的数学基本方法配方法、换元法、待定系数法、为了帮助大家掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，咱们就先介绍高考中常用的数学基本方法配方法、换元法、待定系数法、 数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想 函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题。函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题。 在每一个方法，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的在每一个方法，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的 再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习 题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 一、配方法 从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将 其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二 次代数式的讨论与求解，或者缺 xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式a＋b ＝a ＋2ab＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如 a ＋b ＝a＋b －2ab＝a－b ＋2ab； a ＋ab＋b ＝a＋b －ab＝a－b ＋3ab＝a＋ ＋（ b） ； a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ [a＋b ＋b＋c ＋c＋a ] a ＋b ＋c ＝a＋b＋c －2ab＋bc＋ca＝a＋b－c －2ab－bc－ca＝ 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ； x ＋ ＝x＋ －2＝x－ ＋2 ； 等等。 二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元 和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题 简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系 起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广 泛的应用。 换元的方法有局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字 母来代替它从而简化问题