编程实现数值积分的几种--方法c语言

第二篇 数学试验第 2 章 数学试验2.2 实验 2一元微积分的编程实现1 编程实现数值积分的几种编程实现数值积分的几种-- --方法方法 c c 语言语言 数值计算 2010-11-05 095243 阅读 385 评论 1字号大中小 订阅 复化梯形公式 在区间不大时 , 用梯形公式、 辛卜生公式计算定积分是简单实用的 , 但当区间较大时 , 用梯形公 式、辛卜生公式计算定积分达不到精确度要求 . 为了提高计算的精确度，我们将 [a,b] 区间 n 等分，在每个小区间上应用梯形 公式、辛卜生公式计算定积分，然后将其结果相加，这样就得到了复化梯形公式和复化辛卜生公式。 1. 复化梯形公式 将积分区间等分 , 设, 则节点为 对每个小区间上应用梯形公式 , 然后将其结果相加，则得 3.14 称 3.14 式为复化梯形公式 . 当在 [a,b] 上有连续的二阶导数时，则复化梯形公式 3.14 的余项推导如下 第二篇 数学试验第 2 章 数学试验2.2 实验 2一元微积分的编程实现2 因为 所以在区间 [a,b] 上公式 3.14 的误差为 又因为在区间 [a,b] 上连续，由连续函数的性质知，在区间 [a,b] 上存在一点， 于是 （ 3.15 ） 复化梯形公式，复化抛物线公式和 Romberg 求积法的算法程序 以下程序均定义误差限为 1*10-5; 1复化梯形公式 include include 第二篇 数学试验第 2 章 数学试验2.2 实验 2一元微积分的编程实现3 define e 1e-5 define a 0//积分下限 a define b 1//积分上限 b define fx 4/1x*x//被积函数 fx int main { int i,n; double h,t0,t,g; n1;//赋初值 hdoubleb-a/2; th*fafb; do { t0t; g0; for i1;ie;//自定义误差限 e printf“.8lf“,t;//输出积分的近似值 return 0; } 2复化抛物线公式 include include define e 1e-5 define a 0//积分下限 a define b 1//积分上限 b define fx 4/1x*x//被积函数 fx int main { int i,n; double f1,f2,f3,h,s0,s; f1fafb;//赋初值 f2fdoubleba/2; 第二篇 数学试验第 2 章 数学试验2.2 实验 2一元微积分的编程实现5 f30; sdoubleb-a/6*f14*f2; n2; hdoubleb-a/4; do//复化抛物线算法 { f2f3; s0s; f30; for i1;ie;//自定义误差限 printf“.8lf“,s; return 0; } 第二篇 数学试验第 2 章 数学试验2.2 实验 2一元微积分的编程实现6 3Romberg 求积法 include include define e 1e-5 define a 0//积分下限 a define b 1//积分上限 b define fx 4/1x*x//被积函数 fx double t[100][100]; int main { int n,k,i,m; double h,g,p; hdoubleb-a/2; t[0][0]h*fafb; k1; n1; do//Romberg 算法 { g0; for i1;i1 的情况下的 Mathematica 运算结果 3.3.数值积分数值积分 第二篇 数学试验第 2 章 数学试验2.2 实验 2一元微积分的编程实现25 数值积分是解决求定积分的另一种有效的方法， 它可以给出一个近似解。 特别是对于 用 Integrate 命令无法求出的定积分，数值积分更是可以发挥巨大作用。 它的主要命令格 式为表 2.2.3 中的命令。 表 2.2.3 数值积分一些主要命令 Nintegrate[f,{x,a,b}]在[a,b]上求 f 数值积分 Nintegrate[f,{x,a,x1,x2,,b}]以 x1,x2.为分割求[a,b]上的数值积分 Nintegrate[f,{x,a,b},MaxRecursionn]求数值积分时指定迭代次数n. 下面我们求 sinsinx 在[0,π]上的积分值，由于这个函数的不定积分求不出，因此使用 Integrate 命令无法得到具体结果，但可以用数值积分可以求得近似值。如例2.2.18。 例 2.2.18 求积分  0 sinsinxdx。 这个被积函数fxsinsinx找不到初等的原函数， 用命令 Integrate[f,{x,min,max}] 直接输入，得不到结果。但用命令Nintegrate[f,{x,a,b}]输入，即可得到近似值。具体情 况参见图 2.2.20，其中 Pi 表示π。 第二篇 数学试验第 2 章 数学试验2.2 实验 2一元微积分的编程实现26  图 2.2.20 积分 0 sinsinxdx 在 Mathematica 程序下的数值解 如果积分的被函数存在不连续点，或存在奇异点我们可对积分进行分段求解。例如例 2.2.19。 例 2.2.19求积分1 1 x1 dx。 被积函数 1 x 在[-1，1]上，显然有x0 点是一个无穷间断点。因此若要求其数值积分， 必须在其中插入点 0。 于是， 利用数值积分命令 Nintegrate[f,{x,xmin， x1， x2， ， xmax}] 输入，其中 x1，x2，是奇异点。这样就可得到积分的数值解。具体操作参见图2.2.21 第二篇 数学试验第 2 章 数学试验2.2 实验 2一元微积分的编程实现27 图 2.2.21 积分 11 x1 dx 在 Mathematica 程序下的数值解 对无穷积分，也可求得积分数值解，例如例2.2.20。 例 2.2.20 求积分 0 exdx。 2 对于求无穷积分的数值解，也可以直接用命令Nintegrate[f,{x,a,b}]，其中b 可以 用无穷大 Infinity 替换。具体操作参见图2.2.22。 第二篇 数学试验第 2 章 数学试验2.2 实验 2一元微积分的编程实现28 图 2.2.22积分  0 exdx在 Mathematica 程序下的数值解 2 思考题 可以将第一篇中的习题一、习题二中的题用Mathematica 程序做一下。