等腰三角形的分类讨论
初中数学等腰三角形的分类讨论初中数学等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形， 就是因为这种特殊性， 在具体处理问题 时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。 那么在 什么情况下应该分类讨论呢本文分以下几种情形讲述。 一. 遇角需讨论 例 1. 已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为（） A. 30B. 75C. 105D. 30或 75 二. 遇边需讨论 例 2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于 6，则它的周长等于_________。 三. 遇中线需讨论 例 3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，求这个等腰三角形的 底和腰的长。 四. 遇高需讨论 例 4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45， 求这个等腰三角形的顶角的 度数。 简析 依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。 图 1 中顶角为 45， 图 2 中顶角为 135。 例 5. 为美化环境， 计划在某小区内用30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角 形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。 五. 遇中垂线需讨论 例 6.在ΔABC 中，ABAC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为50，则底角 ∠B____________。 2 六. 和方程问题的 综合讨论 例7.已 知 Δ ABC的 两 边AB ， AC的 长 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x22k 3x k23k 2 0 的两个实数根，第三边BC 长为 5。 （1）k为何值时，ΔABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 （2）k为何值时，ΔABC 是等腰三角形，并求ΔABC 的周长。 七、找点构造等腰三角形需讨论 例 8 在直角坐标系中，O 为坐标原点，A（1,1）；在坐标轴上确定一点 P，使ΔAOP 为等腰 三角形，则符合条件的点P 共有（） A、4 个 B、6 个 C、8 个 D、1 个 等腰三角形中的分类讨论等腰三角形中的分类讨论 1．三角形中常见的分类问题 I （1）等腰三角形两个内角的度数之比为12，这个等腰三角形底角的度数为 _____________； （2）等腰△ABC 的周长为 13，AB5，则 BC________________； （3）等腰△ABC 的周长为 16，AB4，则 BC________________. 2．三角形中常见的分类问题 II （1）等腰三角形一腰上的高等于某条边的一半，则它的顶角是___________度； （2）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则它的顶角是___________度； （3）一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度 数是_______________. 3．三角形的剖分 （1） 已知等腰三角形 ABC 中， ABAC， D 为 BC 边上一点， 连结 AD， 若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，则∠C 的度数是______________； （2）有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰 三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为________________； （3）△ABC 中，ABAC，过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰 三角形，试求△ABC 各内角的度数。 （4）一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为 36，求 原三角形最大内角的所有可能值。 4、分类讨论题练习 5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20，则它的底角为， 当腰上的高与底的夹角为60时，则它的底角为；若等腰三角形一 腰上的高与另一腰的夹角为50，它的底角为． 6、 等腰三角形周长为 13cm，其中一边长为 3cm，则该等腰三角形的底边长为 7、 等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD把△ABC的周长分为 12cm 和 21cm 两 部分，则底边BC ． 8．已知△ABC中，AB AC，DC是AB上的高，且△ACD恰好为等腰三角形， 则BCD ． 9．已知E，F是 Rt△ABC斜边AB上的两点，且AF AC，BE BC，则 ECF ． 等腰三角形中的分类讨论等腰三角形中的分类讨论 （一）复习回顾（一）复习回顾 1 1、定义有、定义有________边相等的三角形叫做等腰三角形。边相等的三角形叫做等腰三角形。 2 2、性质从边来看、性质从边来看，等腰三角形两条腰________；从角来看从角来看，等腰三角形的两 个底角________ 从内部的线来看从内部的线来看 ，等腰三角形的顶角 ________，底边上的 ______，底边上的 ________互相重合简称“三线合一”； 从对称性来看从对称性来看，等腰三角形是轴对称图形，有________条对称轴． A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、1 或 3 条 3 3、三角形的高、三角形的高分为形内高和形外高； 锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部； 直角三角形的三条高线的交点是 直角顶点； 钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部。 （二）交流展示（二）交流展示 1 1、遇角分类、遇角分类 （1）已知等腰三角形的顶角是 70，则底角的度数是_______ （2）已知等腰三角形的一内角是 70，则底角的度数是_____ （3）已知等腰三角形的一内角是 100，则底角的度数是_____ （4）已知等腰三角形的一个外角为 40，则其顶角为。 （5）已知等腰三角形的一个外角为 100，则其顶角为。 （6）等腰三角形的一个角是另一个角的 4 倍，求它的各个内角的度数。 等腰三角形中涉及到角的问题时，可以按顶角、底角分类讨论。等腰三角形中涉及到角的问题时，可以按顶角、底角分类讨论。 （但要利用三角形内角和判断三角形是否存在。（但要利用三角形内角和判断三角形是否存在。 ）） 2 2、遇边分类、遇边分类 例例 （ 1 ） 一 个 等 腰 三 角 形 两 边 长 分 别 为 4 和 5 ， 则 它 的 周 长 等 于 _________。 （ 2 ） 一 个 等 腰 三 角 形 两 边 长 分 别 为3 和 7 ， 则 它 的 周 长 等 于。 变式训练变式训练 （1）如果一个等腰三角形的周长为 24，一边长为 10，则另两边长 为。 （2 ）如果一个等 腰三角形的周长为 24， 一边 长为 6 ， 则另两边长 为。 等腰三角形中涉及到边的问题时，可以按照腰、底边来分类讨论。等腰三角形中涉及到边的问题时，可以按照腰、底边来分类讨论。 （但要利用三角形三边关系来判断三角形是否存在。（但要利用三角形三边关系来判断三角形是否存在。 ）） 。例。例若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，则这个等腰三 角形的底边长。 变式训练变式训练 （1）若一个等腰三角形的底边为 5，一腰上的中线把其周长分为两部 分的差为 3，则这个等腰三角形的腰长为。 （2）若一个平行四边形一个内角的平分线分对边为 4 和 5
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