电磁感应双杆问题

电磁感应双杆问题（排除动量范畴） 1.导轨间距相等 例 3. （04 广东）如图所示，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ，导轨间距离为l。 匀强磁场垂直于导轨所在平面（纸面）向里，磁感应强 度的大小为 B。两根金属杆1、2 摆在导轨上，与导轨垂 直，它们的质量和电阻分别为m1、m2和R1、R2，两杆 与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为。已知 杆 1 被外力拖动，以恒定的速度0沿导轨运动，达到稳 定状态时，杆2 也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻 可忽略。求此时杆 2 克服摩擦力做功的功率。 解法解法 1 1设杆 2 的运动速度为 v，由于两杆运动时，两 M2 杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感 1N 应电动势 E  Blv 0 v ① E 感应电流 I  ② R 1  R 2 v 0 杆 2 作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，BlI  m2g ③ 导体杆 2 克服摩擦力做功的功率 P m2gv ④ 解得P m2g[v0 m 2 g B l 2 2 R 1  R 2 ] ⑤ 解法解法 2 2以 F 表示拖动杆 1 的外力，以 I 表示由杆 1、杆 2 和导轨构成的回路中的电流，达 到稳定时，对杆 1 有F m1g  BIl  0① 对杆 2 有BIl m2g  0② 外力 F 的功率 P F  Fv 0 ③ 以 P 表示杆 2 克服摩擦力做功的功率，则有P  P F  I2R 1  R 2 m 1gv0 ④ 由以上各式得P m 2 g[v 0  m g g B2l2 R 1  R 2 ]⑤ 2. 导轨间距不等 例 4. （04 全国） 如图所示中a1b 1c1d1 和a2b2c2d2为在同 一竖直平面内的金属导轨， 处在磁感应强度为 B 的匀强磁 场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里。导轨 的a1b 1 段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也 是竖直的，距离为l2。x1y1和x2y2为两根用不可伸长的绝 缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂 直于导轨并与导轨保持光滑接触。 两杆与导轨构成的回路 的总电阻为 R。F 为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒 力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此 时作用于两杆的重力的功率的大小和回路上的热功率。 解设金属杆向上运动的速度为，因杆的运动，两杆与 导轨构成的回路的面积减少， 从而磁通量也减少。 由法拉第电磁感应定律， 回路中的感应电 动势的大小E  Bl1l2 回路中的电流I  E 方向沿着顺时针方向 R 两金属杆都要受到安培力的作用，作用于杆x1y1的安培力为f1 BIL 1 ，方向向上；作用 于杆x2y2的安培力为f2 BIL2，方向向下。当金属杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有 F m1g m2g  f1 f2 0 解以上各式，得I  F m1 m2g  Bl2l1 F  m1 m2gR B2l2l12 作用于两杆的重力的功率P  2 F  m1 m2gR B2l2l12 2 m1 m2g  电阻上的热功率Q  I R   F m1 m2g  R  Bl2l1  3 两导体棒切割磁感线引起的“双电源”问题 ．两导体棒反向运动 例 5（95 高考）两根相距d  0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内,并处于竖 直方向的匀强磁场中,磁场的磁感应强度B  0.20T,导轨上面横放着两条金属细杆,构成矩形 回路,每条金属细杆的电阻为 r  0.25,回路中其余部分的 电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下 沿导轨朝相反方向匀速平移,速度大小都是 5.0m/s,如图 所示.不计导轨上的摩擦. 1求作用于每条金属细杆的拉力的大小. 2求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量. 解（1）当两杆都以速度向相反方向匀速运动时，每杆所受的安培力和拉力平衡。每个金 属杆产生的感应电动势分别为E1 E2 Bd 由闭合电路的欧姆定律，回路的电流强度I  拉力F 1  F2 BId  3.2102N （2）设两个金属杆之间增加的距离为△L，增加△L 所用的时间t  由焦耳定律，两金属杆共产生的热量为Q  I22rt  I22r  L ； 2 E1 E2Bd  2rr L  1.28102J 2 ．两导体棒同向运动 例 7 （03 全国）两根平行的金属导轨，固定在同一水平面 上，磁感强度B  0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的 乙 甲 电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离 l  0.20m。两根质量均为 m  0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过 F 程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R  0.50，在t0 时 刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒 力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t  5.0s， 金属杆甲的加速度为a  1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多 少 解 设任一时刻t两金属杆甲、 乙之间的距离为x， 速度分别为1和2,经过很短的时间t， 杆甲移动距离1t，杆乙移动距离2t，回路面积改变S  12lt 由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E  B 杆甲的运动方程 F  BIl  ma ES 电流 I  2Rt 由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、 方向相反， 所以两杆的动量等于外力F 的冲 量 Ft  m1 m2 联立以上各式解得 1 [ 1 Ft2RF  ma1 Ft2RF  ma ]  8.15m/s2[]  1.85m/s 2 2 2 m2 m B lB2l2 同向运动中绳连 绳连的“双杆滑动”问题的“双杆滑动”问题 两金属杆 ab 和 cd 长均为 l ，电阻均为 R，质量分别为 M 和 m， Mm， 用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭 合回路， 并悬挂在水平光滑不导电的圆棒两侧， 两金属杆处在水平位置， 如图 4 所示，整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感强 度为 B，若金属杆 ab 正好匀速向下运动，求运动速度。 【解析解析】设磁场垂直纸面向里， ab 杆匀速向下运动时， cd 杆匀速向上运 动，这时两杆切割磁感线运动产生同方向的感应电动势和电流，两棒都 受到与运动方向相反的安培力，如图 5 所示，速度越大，电流越大，安培 力也越大，最后 ab 和 cd 达到力的平衡时作匀速直线运动。 回路中的感应电动势E  E1 E2 2Blv 回路中的电流为I  E  Blv 2RR B2l2v ab 受安培力向上，cd 受安培力向下，大小都为F  BIl  R 设软导线对两杆的拉力为T，由力的平衡条件 对