电磁感应---涡旋电场

1 电磁感应电磁感应----------涡旋电场涡旋电场 18. 19 年海淀期末（12 分）麦克斯韦的电磁场理论告诉我们变化的磁场产生感生电场，该感生电 场是涡旋电场；变化的电场也可以产生感生磁场，该感生磁场是涡旋磁场。 （（1 1））如图如图 2222 所示，所示，在半径为在半径为 r r 的虚线边界内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，的虚线边界内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小磁感应强度大小 随时间的变化关系为随时间的变化关系为 B B kt kt（（k k00 且为常量）且为常量）。将一半径也为。将一半径也为 r r 的细金属圆环（图中未画出）与的细金属圆环（图中未画出）与 虚线边界同心放置。虚线边界同心放置。 ①求金属圆环内产生的感生电动势①求金属圆环内产生的感生电动势εε的大小。的大小。 ②②变化的磁场产生的变化的磁场产生的涡旋涡旋电场存在于磁场内外的广阔空间中，在与磁场垂直的平面内其电场线是电场存在于磁场内外的广阔空间中，在与磁场垂直的平面内其电场线是 一系列同心圆，如图一系列同心圆，如图2323 中的实线所示，圆心与磁场区域的中心重合。在同一圆周上，涡旋电场中的实线所示，圆心与磁场区域的中心重合。在同一圆周上，涡旋电场 的电场强度大小处处相等。的电场强度大小处处相等。使得金属圆环内产生感生电动势的非静电力是涡旋电场对自由电使得金属圆环内产生感生电动势的非静电力是涡旋电场对自由电 荷的作用力，荷的作用力， 这个力称为涡旋电场力，这个力称为涡旋电场力， 其其与电场强度的关系和静电力与电场强度的关系相同。与电场强度的关系和静电力与电场强度的关系相同。 请推导金属圆环位置的涡旋电场的场强大小请推导金属圆环位置的涡旋电场的场强大小 E E 感感。 。 B r B r E r 图 22图 23图 24 （2）如图24 所示，在半径为r 的虚线边界内有一垂直于纸面向里的匀强电场，电场强度大小随 时间的变化关系为 Eρt（ρ0 且为常量） 。 ①我们把穿过某个面的磁感线条数称为穿过此面的磁通量，同样地，我们可以把穿过某个面的 电场线条数称为穿过此面的电通量。电场强度发生变化时，对应面积内的电通量也会发生变 化，该变化的电场必然会产生磁场。小明同学猜想求解该磁场的磁感应强度 B 感的方法可以 类比（1）中求解 E 感的方法。若小明同学的猜想成立，请推导 B感在距离电场中心为 a（a0 且为常量） 。该变化的磁场会在空间产生圆形的涡旋电场，如图乙所 示， 涡旋电场的电场线与导体环具有相同圆心的同心圆， 同一电场线上各点场强大小相同， 方向沿切线。 导体环中的自由电荷就会在感生电场的作用下做定向运动，产生感应电流，或者说导体中产生了感应电 动势，涡旋电场力充当非静电力，其大小与涡旋电场的场强E 关系满足𝐹 𝐸𝑞。 （1）根据法拉第电磁感应定律，推导导体环中产生的感应电动势ε； （2）在 15 乙图中以圆心 O 为坐标原点，向右建立一维 x 坐标轴，推导在 x 轴上各处电场强度的大 小 E 与 x 之间的函数表达式，在图16 中定性画出 E-x 图像； （3）图15 丙为乙的俯视图，去掉导体环，在磁场圆形边界上有M、N 两点，MN 之间所夹的小圆弧 恰为整个圆周的 1/6；将一个带电量为q 的带电小球沿着圆弧分别顺时针、逆时针从M 移动到 N，求涡 旋电场力分别所做的功。在此基础上，对比涡旋电场和静电场，说明涡旋电场中为什么不存在电势的概 念。 B. r B B M . .o O r N O r E 涡 磁场边界 甲 丙 E 乙 图 15 x O 图 16 24. （20 分） （1）ε ∆∅ ∆𝑡 𝑆 ∆𝐵 2 ∆𝑡 𝜋𝑟 𝑘4分 当𝑥0 且为常量） 。 2 3 （1）将一由细导线构成的半径为r、电阻为R0的导体圆环水平固定在上述磁场中，并使圆环中心与 磁场区域的中心重合。求在T 时间内导体圆环产生的焦耳热。 （2）上述导体圆环之所以会产生电流是因为变化的磁场会在空间激发涡旋电场，该涡旋电场趋使导 体内的自由电荷定向移动，形成电流。如图乙所示，变化的磁场产生的涡旋电场存在于磁场内外的广阔 空间中，其电场线是在水平面内的一系列沿顺时针方向的同心圆（从上向下看），圆心与磁场区域的中心 重合。在半径为 r 的圆周上，涡旋电场的电场强度大小处处相等，并且可以用E涡  2r 计算，其中为 由于磁场变化在半径为 r 的导体圆环中产生的感生电动势。如图丙所示，在磁场区域的水平面内固定一 个内壁光滑的绝缘环形真空细管道，其内环半径为 r，管道中心与磁场区域的中心重合。由于细管道半 径远远小于 r，因此细管道内各处电场强度大小可视为相等的。 某时刻，将管道内电荷量为q 的带正电小 球由静止释放（小球的直径略小于真空细管道的直径） ，小球受到切向的涡旋电场力的作用而运动，该力 将改变小球速度的大小。该涡旋电场力与电场强度的关系和静电力与电场强度的关系相同。假设小球在 运动过程中其电荷量保持不变，忽略小球受到的重力、小球运动时激发的磁场以及相对论效应。 ○ 1若小球由静止经过一段时间加速， 获得动能 Em， 求小球在这段时间内在真空细管道内运动的圈数； ②若在真空细管道内部空间加有方向竖直向上的恒定匀强磁场，小球开始运动后经过时间 t0，小球 与环形真空细管道之间恰好没有作用力，求在真空细管道内部所加磁场的磁感应强度的大小。 24. （20 分） （1）导体圆环内的磁通量发生变化，将产生感生电动势，根据法拉第电磁感应定律，感生电动势   t  BS t  S B t r2k（2 分） 3  kr2 导体圆环内感生电流I R  （1 分） 0 R 0 在 T 时间内导体圆环产生的焦耳热QI2R0T（2 分） Q  T2k2r4 解得 R （1 分） （2）①根据 0 题意可知，磁场变化将在真空管道处产生涡旋电场，该电场的电场强度 E   2r  kr 2 （2 分） 小球在该电场中受到电场力的作用，电场力的大小F  Eq  kqr 2 （1 分） 电场力的方向与真空管道相切，即与速度方向始终相同，小球将会被加速，动能变大。设小球由静止到 其动能为 Em的过程中，小球运动的路程为s， 根据动能定理有 FsEm（2 分） 小球运动的圈数N  s 2r （1 分） 解得N  E m kqr2 （2 分） ②小球的切向加速度大小为 a  F m  kqr 2m （2 分） 由于小球沿速度方向受到大小恒定的电场力，所以经过时间t0，