立体几何证明平行的方法及专题训练学生

立体几何证明平行的方法及专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法 （1） 通过“平移” 。 （2） 利用三角形中位线的性质。 （3） 利用平行四边形的性质。 （4） 利用对应线段成比例。 （5） 利用面面平行的性质，等等。 1 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是平行四边形，点 E、F分别为棱 AB、 PD 的中 点．求证AF∥平面 PCE； P P 分析取PC 的中点 G，连EG.，FG，则易证AEGF 是平行四 边形 F F D D A A E E C C B B （第 1 题图） 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋ 3， 过 A 作 AE⊥CD，垂足为 E，G、F 分别为 AD、CE 的中点，现将△ADE 沿 AE 折叠，使 得 DE⊥EC. （Ⅰ）求证BC⊥面 CDE；（Ⅱ）求证FG∥面 BCD； 1 D DEFC G GE F C ABAB 分析取 DB 的中点 H，连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱 ABC－A1B1C1中，D, E, F 分别为 AA1, CC1, AB的中点， M 为 BE 的中点, AC⊥BE. 求证 B1 （Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面 B1FM. 分析连 EA，易证 C1EAD 是平行四边形，于是MF//EA B C1 E M C F A1 D A 4、 如图所示, 四棱锥 PABCD 底面是直角梯形,BA  AD,CD  AD,CD2AB, E 为 PC 的中点, 证明 EB//平面PAD; 分析取 PD 的中点 F，连 EF,AF则易证 ABEF 是 平行四边形 2 2 利用三角形中位线的性质 5、如图， 已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证 AM∥平面EFG。 分析法一连 MD 交 GF 于 H，易证 EH 是△AMD 的中位线 法二证平面 EGF∥平面 ABC，从而AM∥平面EFG 6 、 如 图 ， 直 三 棱 柱ABC  A/B/C/，BAC  90， A A E E B BG G M C C F F D D AB  AC 2,AA′1，点M，N分别为A/B和B/C/的中 点。 7．如图，三棱柱 ABCA1B1C1中， D 为 AC 的中点. 求证AB1//面 BDC1； 分析连 B1C 交 BC1于点 E，易证 ED 是 △B1AC 的中位线 3 8、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中,D,E 分别是 AB,BB1的中点.证明 BC1//平面 A1CD; 分析此题与上面的是一样的，连结 AC1与 A1C 交 F,连结 DF，则 DF//BC1 9、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面 ABCD 外一 点，M 是 PC 的中点，在DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证AP∥GH. 利用平行四边形的性质 10．正方体 ABCDA1B1C1D1中 O 为正方形 ABCD 的中心，求证 D1O//平面 A1BC1; 4 11、在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB 求证AE∥平面 PBC； 1 DC，E为PD中点. A 2 E B P D C 12、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB90，ＥＡ⊥平面Ａ ＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ） 若ＡＣ＝ＢＣ２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小． 利用对应线段成比例 13、如图S 是平行四边形 ABCD 平面外一点，M、N 分别 是 SA、BD 上的点， AMBN ， 求证MN∥平面 SDC SMND AMDN  （2）,求证MN∥平面 SBC SMBN （1） 5 （6） 利用面面平行 15、如图，三棱锥P  ABC中， E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上， 且AF  2FP.求证CM / /平面BEF； D是16、如图, 在直三棱柱ABC  A 1B1C1 中，AC  3，BC  4，AB  5,AA 1  4，点 AB的中点， （1） 求证AC  BC 1 ； （2） 求证AC1//平面CDB1； （3）求三棱锥C 1 CDB 1 的体积。 分析取 A1B1的中点 E，连结 C1E 和 AE，易证 C1E∥CD,AE∥DB1，则平面 AC1E∥DB1C,于是 AC 1 //平面CDB 1 6 17 在长方体ABCD A, AA 1  2, 1BC11D1 中,AB  BC 1 点M是BC的中点,点N是AA 1 的中点. 1 求证 MN //平面ACD; 1 A1 B1 N C1 D1 2 过N,C,D三点的平面把长方体ABCD A 1BC11D1 截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值. A B D M C 7