空间向量与立体几何知识点改后

. 立体几何空间向量知识点总结立体几何空间向量知识点总结 一、共面向量一、共面向量 1、定义 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2、共面向量定理 u r rrrr p 若两个向量a、b不共线，则向量与向量a、b共面的充要条件 rru r xa  yb 是存在实数对 x、y,使得 p 。 3、空间平面的表达式 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x、y 使 uuu ruuu ruuu r MP  xMA  yMB 或对空间任 或 一定点O,有 uuu ruuu ruuu ruuuu r OP xOA yOBzOM （其中 x y  z 1）这几个式子是 M,A,B,P 四点共面的充要条件． 二、空间向量基本定理二、空间向量基本定理 1、定理 u r rrr 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯 rru rr xa  ybzc 一的有序实数组 x、y、z，使 p 2、注意以下问题 （1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基 底． r （2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零 r 向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0。 . . （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一 个向量，两者是相关联的不同概念． rrr 由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面。那么所 u r u rrrr p| p  xa  yb zc,x, y,zR 有空间向量所组成的集合就是  r r r rrr a,b,c 看做是由向量a、b、c生成的，所以我们把称为空间的一个基 rrr 底。a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间 ,这个集合可  的一个基底． 三、直线方向向量与平面法向量 直线方向向量与平面法向量 u ruu ru ru u r 1、若两直线l 1、l2 的方向向量分别是u1、u2，则有l 1// l2  u 1// u 2 ， u ru u r l 1⊥l2  u 1⊥ u 2 ． u ruu ruu ru r 2、若两平面α、β的法向量分别是v1、v2，则有α//β v 1// v 2 ，α⊥ u ru u r β v 1⊥ v 2 ． rrrr 若直线l的方向向量是u，平面的法向量是v，则有l//αu⊥v， rr l⊥αu//v 四、平面法向量的求法四、平面法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标， 一般要建立空间直角坐标系， 然后用待定系数法求解，一般步骤如下 r 1 1、设出平面的法向量为、设出平面的法向量为n  x, y,z．． 2 2 、、 找找 出出 （（ 求求 出出 ）） 平平 面面 内内 的的 两两 个个 不不 共共 线线 的的 向向 量量 的的 坐坐 标标 rr a a 1,b1,c1,b a2,b2,c2 r r  na  0 r r nb  0 3 3、根据法向量的定义建立关于、根据法向量的定义建立关于 x x，，y y，，z z 的方程组的方程组 . . 4 4、解方程组，取其中一个解，即得法向量、解方程组，取其中一个解，即得法向量 五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系 （一）用向量方法证明空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指线线平行、线面平行、面面平行． 1 1、线线平行、线线平行 rr 设直线l 1、l2 的方向向量分别是a、b，则要证明l 1// l 2，只需证明 rr rr a//b，即a  kb k R 2 2、线面平行、线面平行 （1）设直线l rr 的方向向量是a，平面的法向量是n，则要证明 rrr r l//，只需证明a  n，即an  0. （2）根据线面平行的判定定理“如果直线（平面外）与平面内 的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线 和一个平面平行， 也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量 是共线向量即可． （3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的 向量是共面向量， 那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定 平行，因此要证明一条直线和一个平面平行， 只要证明这条直线的方 向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 3 3、面面平行、面面平行 （1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相 应的线面平行、线线平行即可． . . rr （2）若能求出平面α、β的法向量u、v，则要证明α//β，只需证 rr 明u//v （二）用向量方法证明空间中的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指线线垂直、线面垂直、面面垂直． 1 1、线线垂直、线线垂直 rr 设直线l 1、l2 的方向向量分别是a、b，则要证明l 1⊥ l 2，只需证 rrr r 明a⊥b，即ab  0 2 2、线面垂直、线面垂直 rr （1）设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证l⊥ rr α，只需证明a// u （2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相 交直线垂直． 3 3、面面垂直、面面垂直 （1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线 垂直． （2）证明两个平面的法向量互相垂直． 六、用向量方法求空间的角六、用向量方法求空间的角 （一）两条异面直线所成的角（一）两条异面直线所成的角 1、定义设 a、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线 a///a,b///b，则a/与b/所夹的锐角或直角叫做 a 与 b 所成的角． 2、范围两异面直线所成角θ的取值范围是 0   2 rr 3、向量求法设直线 a、b 的方向向量为a、b，其夹角为，则 . . 有 r r ab cos|cos| rr a  b 4、注意两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的 夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应 取其补角作为两异面直线所成的角． （二）直线与平面所成的角（二）直线与平面所成的角 1、定义直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射 影所成的角． 2、范围直线和平面所成角θ的取值范围是 0   2 rr 3、向量求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线 rr 与 平 面 所 成 的 角 为 θ ， a与u的 夹 角 为  ， 则 有 r r au sin|cos| rr 或cossin a  u （三）二面角（三）二面角 1、二面角的取值范围[0, ] 2、二面角的向量求法 （1）若 AB、CD 分别是二面角 l  的两个面内与棱l垂直的 uuu r uuu r 异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角（如图（a）所 示）． u ru u r （2）设n1、n2是二面角 l  的两个角α、β的法向量，则向量 u ru u r n 1与 n 2 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b） 所示）． . . 七、用向量的方法求空间的距离七、用向量的方法求空间的